Chủ đề này có 4 trả lời

[Xuananh2222]

Cho x,y,z>0 và x+y+z=xyz. Chứng minh:

\[\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le xyz\]

Hình gửi kèm

• 

[ChiMiwhh]

Từ cái giả thiết, ta có

$ab+bc+ac=1$ với $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

Cần cm

$\sum a+\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{1}{abc}$

Am-Gm vài lần là ra

[Xuananh2222]

Từ cái giả thiết, ta có

$ab+bc+ac=1$ với $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

Cần cm

$\sum a+\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{1}{abc}$

Am-Gm vài lần là ra

Xin lỗi nhưng mình mới học lớp 8, bạn có thể cụ thể hơn hộ mình ko

[KietLW9]

Ta có: $x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{x^2+xy+yz+zx}{yz}=\frac{(x+y)(x+z)}{yz}$

$\Rightarrow \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}\leq \frac{1+\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}}{x}=\frac{2+\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{x}{z})}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Tương tự đối với các bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại, ta được: $VT\leq 3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\leq \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=xyz(q.e.d)$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 27-03-2021 - 07:52

[ChiMiwhh]

Từ cái giả thiết, ta có

$ab+bc+ac=1$ với $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

Cần cm

$a+b+c+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

Am-Gm vài lần là ra

$\sum_{sym}$ có nghĩa là tổng đối xứng 

$\sum_{cyc}$ có nghĩa là tổng hoán vị

khi viết rút gọn thì có thể hiểu là tổng hoán vị