Cho x,y,z>0 và x+y+z=xyz. Chứng minh:
\[\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le xyz\]
Từ cái giả thiết, ta có
$ab+bc+ac=1$ với $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$
Cần cm
$\sum a+\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{1}{abc}$
Am-Gm vài lần là ra
Xin lỗi nhưng mình mới học lớp 8, bạn có thể cụ thể hơn hộ mình ko
Ta có: $x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{x^2+xy+yz+zx}{yz}=\frac{(x+y)(x+z)}{yz}$
$\Rightarrow \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}\leq \frac{1+\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}}{x}=\frac{2+\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{x}{z})}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Tương tự đối với các bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại, ta được: $VT\leq 3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\leq \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=xyz(q.e.d)$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 27-03-2021 - 07:52
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Từ cái giả thiết, ta có
$ab+bc+ac=1$ với $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$
Cần cm
$a+b+c+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$
Am-Gm vài lần là ra
$\sum_{sym}$ có nghĩa là tổng đối xứng
$\sum_{cyc}$ có nghĩa là tổng hoán vị
khi viết rút gọn thì có thể hiểu là tổng hoán vị
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh