Chủ đề này có 1 trả lời

[hienprogamin]

Trong mặt phảng tọa độ $OXY$, cho parabol $(P): y=x^2+px+q$  $(q \neq 0 )$. Biết rằng $(P)$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A, B$ và cắt trục $Oy$ tại $C$. Chứng minh rằng khi $p$ và $q$ thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ luôn đi qua điểm cố định. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hienprogamin: 27-03-2021 - 00:52

[chanhquocnghiem]

Trong mặt phảng tọa độ $OXY$, cho parabol $(P): y=x^2+px+q$  $(q \neq 0 )$. Biết rằng $(P)$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A, B$ và cắt trục $Oy$ tại $C$. Chứng minh rằng khi $p$ và $q$ thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ luôn đi qua điểm cố định.

Giả sử $A\left ( \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2};0 \right )$ ; $B\left ( \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2};0 \right )$ ; $C(0;q)$

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow x_I=-\frac{p}{2}$.

$IA^2=IB^2=\left ( \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2} \right )^2+(y_I)^2$

$IC^2=\left ( \frac{p}{2} \right )^2+(q-y_I)^2$

$\Rightarrow \frac{p^2-4q}{4}+(y_I)^2=\frac{p^2}{4}+q^2+(y_I)^2-2qy_I\Rightarrow y_I=\frac{q+1}{2}$

Gọi $CD$ là dây cung vuông góc với trục $Ox$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow x_D=x_C=0$.

       $M$ là trung điểm của $CD$.

$IM\perp CD\Rightarrow IM//Ox\Rightarrow y_M=y_I=\frac{q+1}{2}\Rightarrow y_D=2y_M-y_C=1$.

$\Rightarrow$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ luôn đi qua điểm cố định $D(0;1)$.