$\boxed{22}$Cho $\Delta ABC$ nhọn, ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại H. Gọi $M,N$ là hình chiếu của $B,C$ trên $EF$. Chứng minh rằng: $ED+FD=MN$ (Bài hình của một anh bạn hỏi qua facebook, không biết có đụng hàng ở đâu hay chưa)
Lời giải:(vắn tắt)
Ta dễ chứng minh: $MF = EN$ (Cái này là bài hình lớp 8 cơ bản)
Trên tia đối của $MN$ lấy $J$ sao cho $MF = MJ$ do đó $MJ = EN$ suy ra $EJ=MN$
Từ $F$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $L$, lấy điểm $G$ đối xứng với $F$ qua $BC$ thì ta dễ có $\widehat{FDL}=\widehat{GDL}$, mà $\widehat{FDH}=\widehat{EDH}$(Cái này cũng cơ bản của lớp 8) nên suy ra $G,D,E$ thẳng hàng.
Như vậy, ta cần chứng minh: $EJ=EG$
Tứ giác $MFLB$ nội tiếp nên $\widehat{FML}=\widehat{LBF}$ mà $\widehat{LBF}=\widehat{AEF}$ nên $\widehat{FML}=\widehat{AEF}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ML//AE$
Mà ta có: $ML//GJ$ (đường trung bình) nên $AE//GJ$ suy ra $BE$ vuông góc $GJ$
$\Delta JEG$ có $EB$ vừa là đường cao vừa là phân giác nên là tam giác cân $\Rightarrow EJ=EG$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$