Chủ đề này có 49 trả lời

[12DecMath]

$\boxed{Bài 16:}$ Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với BC tại D. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Qua D kẻ đường thẳng song song với AI cắt MI tại K. Chứng minh rằng: AK=ID.

Một tính chất quen thuộc của tâm nội tiếp tam giác: 

Hình gửi kèm

• 

[DaiphongLT]

Một tính chất quen thuộc của tâm nội tiếp tam giác: 

1 hướng khác nhưng phần đầu giống bạn 12DecMath
Sau khi cm dc KM//AN thì ta có $\frac{MD}{MH}=\frac{MN}{MH}=\frac{AK}{KH}=\frac{DS}{DH}\Rightarrow \frac{MH}{DH}=\frac{MD}{DS}=\frac{KM}{KI}\Rightarrow AK//DI$ hay AKDI là hbh

[12DecMath]

$\boxed{17}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (w) có đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Dựng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC có tâm (O). Tiếp tuyến tại B,D của đường tròn (O) cắt nhau tại K.

a) T = (w) $\cap$ AK. Chứng minh tứ giác BTKD nội tiếp

b) S = AK $\cap$ BC, L = SH $\cap$ AO. Chứng minh tứ giác BELO nội tiếp

c) Chứng minh $\overline{S,E,D}$ 

d) Kẻ tiếp tuyến AX của đường tròn (O) sao cho S $\in$ cung nhỏ CD. Chứng minh $\overline{S,H,X}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 08-04-2021 - 23:45

[DaiphongLT]

$\boxed{17}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (w) có đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Dựng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC có tâm (O). Tiếp tuyến tại B,C của đường tròn (O) cắt nhau tại K.

a) T = (w) $\cap$ AK. Chứng minh tứ giác BTKD nội tiếp

b) S = AK $\cap$ BC, L = SH $\cap$ AO. Chứng minh tứ giác BELO nội tiếp

c) Chứng minh $\overline{S,E,D}$ 

d) Kẻ tiếp tuyến AX của đường tròn (O) sao cho S $\in$ cung nhỏ CD. Chứng minh $\overline{S,H,X}$

Tâm (BEDC) nằm trên BC rồi thì sao 2 tiếp tuyến tại B và C cắt nhau dc ạ

[12DecMath]

Tâm (BEDC) nằm trên BC rồi thì sao 2 tiếp tuyến tại B và C cắt nhau dc ạ

à sorry bạn nha! Tiếp tuyến tại B với D á bạn sr nhiều ( đã sửa )

[12DecMath]

$\boxed{18}$ Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc AI cắt BI,CI tại P,Q. Gọi S là tâm (BPCQ).X,Y là hình chiếu của S trên BP,CQ. Z,T là hình chiếu của A trên BI,CI. Chứng minh rằng $\frac{XZ}{YT}$=$\frac{YT}{YK}$   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 09-04-2021 - 02:54

[DaiphongLT]

$\boxed{17}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (w) có đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Dựng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC có tâm (O). Tiếp tuyến tại B,D của đường tròn (O) cắt nhau tại K.

a) T = (w) $\cap$ AK. Chứng minh tứ giác BTKD nội tiếp

b) S = AK $\cap$ BC, L = SH $\cap$ AO. Chứng minh tứ giác BELO nội tiếp

c) Chứng minh $\overline{S,E,D}$ 

d) Kẻ tiếp tuyến AX của đường tròn (O) sao cho S $\in$ cung nhỏ CD. Chứng minh $\overline{S,H,X}$

a) Ta có $\widehat{KDB}=\widehat{DCB}$ mà $\widehat{DCB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{KDB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}$ hay BTKD nội tiếp
b) Giả sử (BEO)$\cap$ (CDO) = L', dễ cm dc $\overline{A,L',O}$ và AEL'D nội tiếp
Ta có BTKD nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KTD}=\widehat{KBD}=\widehat{BCD}=\widehat{AED}\Rightarrow$ ATED nội tiếp mà AEHD nội tiếp
nên ta dc A, T, E, H, L', D thuộc 1 đường tròn hay $HL'\perp AO$
Tương tự ta cũng dễ cm dc SL'$\perp AO\Rightarrow \overline{S, H, L'}\Rightarrow L'\equiv L$ hay có dpcm
c) Từ câu b) ta đã cm dc L là giao của (BEO) và (CDO) nên gọi giao điểm của DE và BC là S' sau đó cm tương tự câu b) 



P/s: mk không chắc chắn lắm về bài này nên cs sai sót mong mọi người thông cảm ạ  

[12DecMath]

a) Ta có $\widehat{KDB}=\widehat{DCB}$ mà $\widehat{DCB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{KDB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}$ hay BTKD nội tiếp
b) Giả sử (BEO)$\cap$ (CDO) = L', dễ cm dc $\overline{A,L',O}$ và AEL'D nội tiếp
Ta có BTKD nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KTD}=\widehat{KBD}=\widehat{BCD}=\widehat{AED}\Rightarrow$ ATED nội tiếp mà AEHD nội tiếp
nên ta dc A, T, E, H, L', D thuộc 1 đường tròn hay $HL'\perp AO$
Tương tự ta cũng dễ cm dc SL'$\perp AO\Rightarrow \overline{S, H, L'}\Rightarrow L'\equiv L$ hay có dpcm
c) Từ câu b) ta đã cm dc L là giao của (BEO) và (CDO) nên gọi giao điểm của DE và BC là S' sau đó cm tương tự câu b) 


geogebra-export (12).png
P/s: mk không chắc chắn lắm về bài này nên cs sai sót mong mọi người thông cảm ạ  

d) Từ câu c) thì SL $\perp$ AO

Có: AX là tiếp tuyến của (O) => AX² = AD.AC mà OLDC nội tiếp( => AD.AC =AL.AO)

=> AX²= AL.AO mà ∠OXA =90° => XL$\perp$AO => $\overline{X,H,S}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 09-04-2021 - 19:08

[Rebound2k5]

Một tính chất quen thuộc của tâm nội tiếp tam giác: 

Cho mình hỏi tính chất quen thuộc chứng minh kiểu gì vậy? 

[DaiphongLT]

Cho mình hỏi tính chất quen thuộc chứng minh kiểu gì vậy? 

Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của $\Delta ABC$ tiếp xúc với BC tại P
Từ đây việc cm BD=CP có lẽ là ez vs các bạn rồi
Gọi X đối xứng với D qua I, ta có BI, BJ là phân giác trong ngoài $\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \frac{AI}{AJ}=\frac{NI}{NJ}=\frac{ID}{PJ}=\frac{IX}{JP}\Rightarrow \Delta AIX\sim \Delta AJP(c-g-c)\Rightarrow \overline{A, X, P}$



P/s: đây là hình mk lấy ở đề thi hsg toán 9 hà nội năm nay vì một phần bài hình của đề cũng có áp dụng tính chất này và mk cũng hơi nhác vẽ hình trên GeoGebra nữa 

[12DecMath]

$\boxed{19}$ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi S,S' lần lượt là diện tích của (O) và (I). Tính giá trị nhỏ nhất của $S/S'$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 11-04-2021 - 23:32

[tthnew]

$\boxed{20}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $EF$ tại $M.$ $I$ là giao điểm giữa đường vuông góc với $AB$ tại $A$ và $BE.$ Gọi $T$ là giao điểm giữa $(DEF)$ và $AH.$ Chứng minh $T$ là trung điểm $AH$ và $T, I, M$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 15-04-2021 - 15:12

[12DecMath]

$\boxed{20}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $EF$ tại $M.$ $I$ là giao điểm giữa đường vuông góc với $AB$ tại $A$ và $BE.$ Gọi $T$ là giao điểm giữa $(DEF)$ và $AH.$ Chứng minh $T$ là trung điểm $AH$ và $T, I, M$ thẳng hàng.

Lời giải :

Hình gửi kèm

• 

[KietLW9]

$\boxed{21}$Cho các điểm $M,N,P$ thứ tự thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ của $\Delta ABC$ cân tại $A$ sao cho tứ giác $MNAP$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $BN$ và $CP$. Chứng minh rằng: $\widehat{OMP}=\widehat{AMN}$.

[KietLW9]

$\boxed{22}$Cho $\Delta ABC$ nhọn, ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại H. Gọi $M,N$ là hình chiếu của $B,C$ trên $EF$. Chứng minh rằng: $ED+FD=MN$ (Bài hình của một anh bạn hỏi qua facebook, không biết có đụng hàng ở đâu hay chưa)

Lời giải:(vắn tắt)

Ta dễ chứng minh: $MF = EN$ (Cái này là bài hình lớp 8 cơ bản)

Trên tia đối của $MN$ lấy $J$ sao cho $MF = MJ$ do đó $MJ = EN$ suy ra $EJ=MN$ 

Từ $F$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $L$, lấy điểm $G$ đối xứng với $F$ qua $BC$ thì ta dễ có $\widehat{FDL}=\widehat{GDL}$, mà $\widehat{FDH}=\widehat{EDH}$(Cái này cũng cơ bản của lớp 8) nên suy ra $G,D,E$ thẳng hàng.

Như vậy, ta cần chứng minh: $EJ=EG$

Tứ giác $MFLB$ nội tiếp nên $\widehat{FML}=\widehat{LBF}$ mà $\widehat{LBF}=\widehat{AEF}$ nên $\widehat{FML}=\widehat{AEF}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ML//AE$

Mà ta có: $ML//GJ$ (đường trung bình) nên $AE//GJ$ suy ra $BE$ vuông góc $GJ$

$\Delta JEG$ có $EB$ vừa là đường cao vừa là phân giác nên là tam giác cân $\Rightarrow EJ=EG$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

[12DecMath]

$\boxed{22}$Cho $\Delta ABC$ nhọn, ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại H. Gọi $M,N$ là hình chiếu của $B,C$ trên $EF$. Chứng minh rằng: $ED+FD=MN$ (Bài hình của một anh bạn hỏi qua facebook, không biết có đụng hàng ở đâu hay chưa)

Screenshot (1319).png

Lời giải:(vắn tắt)

Ta dễ chứng minh: $MF = EN$ (Cái này là bài hình lớp 8 cơ bản)

Trên tia đối của $MN$ lấy $J$ sao cho $MF = MJ$ do đó $MJ = EN$ suy ra $EJ=MN$ 

Từ $F$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $L$, lấy điểm $G$ đối xứng với $F$ qua $BC$ thì ta dễ có $\widehat{FDL}=\widehat{GDL}$, mà $\widehat{FDH}=\widehat{EDH}$(Cái này cũng cơ bản của lớp 8) nên suy ra $G,D,E$ thẳng hàng.

Như vậy, ta cần chứng minh: $EJ=EG$

Tứ giác $MFLB$ nội tiếp nên $\widehat{FML}=\widehat{LBF}$ mà $\widehat{LBF}=\widehat{AEF}$ nên $\widehat{FML}=\widehat{AEF}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ML//AE$

Mà ta có: $ML//GJ$ (đường trung bình) nên $AE//GJ$ suy ra $BE$ vuông góc $GJ$

$\Delta JEG$ có $EB$ vừa là đường cao vừa là phân giác nên là tam giác cân $\Rightarrow EJ=EG$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài này thì ta có thể gọi đối xứng của E qua BC. Rồi chứng minh F,D,E' thẳng hàng, rồi chứng minh FE' =MN. Nếu từ B kẻ vuông góc NC tại K thì dễ dàng chứng minh được BK = FE' => Ta có điểu phải chứng minh

[KietLW9]

Bài này thì ta có thể gọi đối xứng của E qua BC. Rồi chứng minh F,D,E' thẳng hàng, rồi chứng minh FE' =MN. Nếu từ B kẻ vuông góc NC tại K thì dễ dàng chứng minh được BK = FE' => Ta có điểu phải chứng minh

Bài này đẹp quá, nôn nóng nên e đăng sol nháp lên luôn ak

[12DecMath]

$\boxed{21}$Cho các điểm $M,N,P$ thứ tự thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ của $\Delta ABC$ cân tại $A$ sao cho tứ giác $MNAP$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $BN$ và $CP$. Chứng minh rằng: $\widehat{OMP}=\widehat{AMN}$.

Không mất tính tổng quát thì ta giả sử MB $\leq$ MC. G là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của MN và CP.. 
Vì MNAP là hình bình hành nên $\widehat{OPM}$=$\widehat{ANM}$ . Vậy ta cần chứng minh tam giác QPM đồng dạng với tam giác ANM

Vì tam giác ABC cân tại A nên tam giác PBM cân tại P và tam giác NCM cân tại N.

=> PB=PM=AN và NC=NM=AP

Có: MN//AP, suy ra : $\frac{PQ}{PM}$=$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{KM}{KN}$=$\frac{PB}{PA}$=$\frac{NA}{NM}$

=> ta có điều chứng minh

[KietLW9]

$\boxed{23}$Cho đoạn thẳng $AB=\alpha $ không đổi. Lấy một điểm $M$ bất kì sao cho $\widehat{AMB}$ nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta AMB$. MI là đường trung tuyến của $\Delta AMB$. Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $MI$($K$ thuộc $MI$). Chứng minh rằng $MI.IK$ không đổi.

Hình vẽ nói lên lời giải của mình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-04-2021 - 17:38

[KietLW9]

$\boxed{24}$Cho $\Delta ABC$, các đường cao $AJ,BK,CL$ cắt nhau tại $H$, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, $AM$ là trung tuyến. $AO$ cắt $BK,CL$ lần lượt tại $D,E$. $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HDE$. Chứng minh rằng $A,O',M$ thẳng hàng.