Hạ sĩ
Đã gửi 18-04-2021 - 19:05
$\boxed{22}$Cho $\Delta ABC$ nhọn, ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại H. Gọi $M,N$ là hình chiếu của $B,C$ trên $EF$. Chứng minh rằng: $ED+FD=MN$ (Bài hình của một anh bạn hỏi qua facebook, không biết có đụng hàng ở đâu hay chưa)
Bài này có thể làm cách khác bằng cách chứng minh B, C là tâm bàng tiếp của tam giác DEF nên từ đó tính được MN theo các cạnh của tam giác.
(Thực ra bài này là bài 8 trong báo TTT tháng này)
Hạ sĩ
Đã gửi 18-04-2021 - 19:12
$\boxed{24}$Cho $\Delta ABC$, các đường cao $AJ,BK,CL$ cắt nhau tại $H$, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, $AM$ là trung tuyến. $AO$ cắt $BK,CL$ lần lượt tại $D,E$. $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HDE$. Chứng minh rằng $A,O',M$ thẳng hàng.
HO' cắt AO tại F. AO cắt BC tại G.
Bằng biến đổi góc dễ dàng chỉ ra $\Delta HDE\sim\Delta ABC(g.g)$ và $HF$ // $BC$.
Do đó $\frac{HO'}{O'F}=\frac{AF}{FG}=\frac{JM}{MG}$ nên A, O', M thẳng hàng.
Sĩ quan
Đã gửi 18-04-2021 - 19:29
HO' cắt AO tại F. AO cắt BC tại G.
Bằng biến đổi góc dễ dàng chỉ ra $\Delta HDE\sim\Delta ABC(g.g)$ và $HF$ // $BC$.
Do đó $\frac{HO'}{O'F}=\frac{AF}{FG}=\frac{JM}{MG}$ nên A, O', M thẳng hàng.
Cách của mình:
Gọi $L$ là trung điểm của $DE$ thì $O'L$ vuông góc $AE$ (1)
Dễ chứng minh: $\Delta HDE\sim\Delta ABC(g.g)$ nên $\Delta HO'E\sim\Delta AOC\Rightarrow \widehat{O'HE}=\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\widehat{HCB}\Rightarrow HO'//JC\Rightarrow$ $HO'$ vuông góc với $AJ$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $AHO'L$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HAO'}=\widehat{HLO'}$
Cũng do $\Delta HDE\sim\Delta ABC$ nên $\Delta HO'L\sim\Delta AOM\Rightarrow \widehat{HLO'}=\widehat{AMO}=\widehat{JAM}(slt)$
Vậy ta có: $\widehat{JAM}= \widehat{HAO'}$ nên $A,O',M$ thẳng hàng.
Binh nhất
Đã gửi 19-04-2021 - 13:30
$\boxed{23}$Cho đoạn thẳng $AB=\alpha $ không đổi. Lấy một điểm $M$ bất kì sao cho $\widehat{AMB}$ nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta AMB$. MI là đường trung tuyến của $\Delta AMB$. Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $MI$($K$ thuộc $MI$). Chứng minh rằng $MI.IK$ không đổi.
Hình vẽ nói lên lời giải của mình.
Bài này thật sự không khó lắm, chỉ cần biết các tính chất cơ bản của trực tâm là làm được.
Binh nhất
Đã gửi 19-04-2021 - 13:33
$\boxed{25}$ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của B,C của (O) cắt tiếp tuyến của A tại 2 điểm L,K. Đường thẳng qua K song song với AC cắt đường thẳng qua L song song với AB tại P. Chứng minh BP=CP.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 19-04-2021 - 21:38
Sĩ quan
Đã gửi 19-04-2021 - 17:14
$\boxed{23}$Cho đoạn thẳng $AB=\alpha $ không đổi. Lấy một điểm $M$ bất kì sao cho $\widehat{AMB}$ nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta AMB$. MI là đường trung tuyến của $\Delta AMB$. Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $MI$($K$ thuộc $MI$). Chứng minh rằng $MI.IK$ không đổi.
Hình vẽ nói lên lời giải của mình.
Bài này thật sự không khó lắm, chỉ cần biết các tính chất cơ bản của trực tâm là làm được.
Đúng là bài này không khó, thật ra đây là bài ... lớp 8 giải bằng cách xét một cặp tam giác đồng dạng là ra, nhưng mình lại có cách sử dụng đường tròn nên up lên luôn.
Binh nhì
Đã gửi 20-04-2021 - 02:23
$\boxed{25}$ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của B,C của (O) cắt tiếp tuyến của A tại 2 điểm L,K. Đường thẳng qua K song song với AC cắt đường thẳng qua L song song với AB tại P. Chứng minh BP=CP.
Binh nhất
Đã gửi 20-04-2021 - 20:28
$\boxed{26}$: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi L,M,N lần lượt là trung điểm của AH,EF,BC. Cho X,Y là chân đường cao hạ từ L,N lên tia DF. Chứng minh XM vuông góc với MY
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 20-04-2021 - 21:36
Hạ sĩ
Đã gửi 20-04-2021 - 21:39
$\boxed{26}$: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi L,M,N lần lượt là trung điểm của AH,EF,BC. Cho X,Y là chân đường cao hạ từ L,N lên tia DF. Chứng minh XM vuông góc với MY
Dễ thấy L, M, N nằm trên đường trung trực của EF.
Từ đó các tứ giác XLMF, YNMF nội tiếp.
Ta có $\angle XMF+\angle YMF =\angle XLF+\angle YNF=90^o$ nên $XM\perp MY$.
P/s: Hay anh chữa bài 5, 6 đi, em thấy lâu rồi mà hai bài đó hơi khó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 20-04-2021 - 21:40
Binh nhất
Đã gửi 20-04-2021 - 22:40
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 20-04-2021 - 22:45
Binh nhất
Đã gửi Hôm qua, 09:09
Dễ thấy L, M, N nằm trên đường trung trực của EF.
Từ đó các tứ giác XLMF, YNMF nội tiếp.
Ta có $\angle XMF+\angle YMF =\angle XLF+\angle YNF=90^o$ nên $XM\perp MY$.
P/s: Hay anh chữa bài 5, 6 đi, em thấy lâu rồi mà hai bài đó hơi khó
Chắc anh nói nhanh nhỉ(do k có thời gian)
Bài 5: Gọi M là hình chứ của I lên AC .
Ta sẽ chứng minh được các cặp tam giác AIB đồng dạng với tam giác ACIa và tam giác AIM đồng dạng với tam giác AEIa. Từ đó ta sẽ suy ra được AE=$\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$
Gọi E' là giao điểm của BL với AC thì cũng chứng minh được AE'=$\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$ => đpcm
Bài 6:
Bài này để chứng minh thì ta cần dùng cái công thức tính diện tích của tam giác qua bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Thì cần chứng minh 2 công thức: SABC=p.r (p là nửa chu vi tam giác) và
SABC=(p-a).r. Phần sau biến tỉ hơi căng nhưng mà em cứ biến đổi 1 cách máy móc cũng được, cũng sẽ ra. Nếu có cách hay hơn anh sẽ đăng. P/s: Em với mọi người cùng suy nghĩ nha, bài này khá khó!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: Hôm qua, 09:12
Hạ sĩ
Đã gửi Hôm qua, 09:57
$\boxed{5}$ Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp và Ia là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A. Đường thẳng qua Ia vuông góc với AIa cắt AC tại E. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của Ia lên AB,AC. L thuộc HK sao cho CL//AB. Chứng minh rằng B,L,E thẳng hàng.
Tính được $AE=\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$; $CK=\frac{BC+AB-AC}{2}$.
Do đó $CE=\frac{AC(AB+BC-AC)}{AB+AC-BC}$.
Mặt khác tam giác CLK cân tại C nên CL = CK.
Ta có $\frac{CL}{AB}=\frac{BC+AB-AC}{2AB}=\frac{EC}{EA}$.
Theo định lý Thales thì B, L, E thẳng hàng.
(Em định làm cách này nhưng không biết cách tính AE 
)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: Hôm qua, 09:57
Sĩ quan
Sĩ quan
Đã gửi Hôm qua, 13:45
$\boxed{28}$Cho điểm $A$ cố định thuộc trên đường tròn $(O; R)$. $BC$ là dây cung của đường tròn $(O; R)$, $BC$ di động và $\Delta ABC$ nhọn. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $G$. Gọi $S$ là giao điểm của $GD$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $SH$ luôn đi qua một điểm cố định.
Binh nhất
Đã gửi Hôm qua, 16:23
a) Ta có $GM.GA=GB.GC=GF.GE\Rightarrow AMFE$ nội tiếp
b) Gọi I là giao của GH với AN. Giả sử (BNF) cắt (CNE) tại I'. Dễ thấy $\overline{A, N, I'}$ (tính chất quen thuộc)
Ta có NI'EC, AFI'E nội tiếp nên $\widehat{EFI'}=\widehat{EAI'}=\widehat{I'CN}$ $\Rightarrow$ GFI'C nội tiếp
Từ đây dễ cm dc $\widehat{GI'N}=90^{\circ}\Rightarrow GH\perp AN$
Mà A, E, I', F, H, M đồng viên nên $\widehat{AI'H}=90^{\circ}\Rightarrow HI'\perp AN$
$\Rightarrow$ đpcm
Binh nhất
Đã gửi Hôm qua, 17:26
$\boxed{28}$Cho điểm $A$ cố định thuộc trên đường tròn $(O; R)$. $BC$ là dây cung của đường tròn $(O; R)$, $BC$ di động và $\Delta ABC$ nhọn. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $G$. Gọi $S$ là giao điểm của $GD$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $SH$ luôn đi qua một điểm cố định.
Hmmm... Bài này đã có trên diễn đàn và gần đây của anh spiritCreator
https://diendantoanh...-1-điểm-trên-o/
Binh nhất
Đã gửi Hôm qua, 17:32
$\boxed{29}$ Cho tam giác ABC có đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BEDC. AH cắt OD và OE lần lượt tại J,I. Chứng minh rằng EJ,DJ,BC đồng quy (Nguồn: Hình học phẳng -Vĩ Đụt)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: Hôm qua, 17:35
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
