Đến nội dung

Hình ảnh

[TOPIC] ÔN TẬP HÌNH HỌC THI VÀO THPT CHUYÊN 2020-2021


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 112 trả lời

#41
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

HO' cắt AO tại F. AO cắt BC tại G. 

Bằng biến đổi góc dễ dàng chỉ ra $\Delta HDE\sim\Delta ABC(g.g)$ và $HF$ // $BC$.

Do đó $\frac{HO'}{O'F}=\frac{AF}{FG}=\frac{JM}{MG}$ nên A, O', M thẳng hàng.

Cách của mình:

Gọi $L$ là trung điểm của $DE$ thì $O'L$ vuông góc $AE$ (1)

Dễ chứng minh: $\Delta HDE\sim\Delta ABC(g.g)$ nên $\Delta HO'E\sim\Delta AOC\Rightarrow \widehat{O'HE}=\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\widehat{HCB}\Rightarrow HO'//JC\Rightarrow$ $HO'$ vuông góc với $AJ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $AHO'L$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HAO'}=\widehat{HLO'}$

Cũng do $\Delta HDE\sim\Delta ABC$ nên $\Delta HO'L\sim\Delta AOM\Rightarrow \widehat{HLO'}=\widehat{AMO}=\widehat{JAM}(slt)$

Vậy ta có: $\widehat{JAM}= \widehat{HAO'}$ nên $A,O',M$ thẳng hàng.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#42
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{23}$Cho đoạn thẳng $AB=\alpha $ không đổi. Lấy một điểm $M$ bất kì sao cho $\widehat{AMB}$ nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta AMB$. MI là đường trung tuyến của $\Delta AMB$. Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $MI$($K$ thuộc $MI$). Chứng minh rằng $MI.IK$ không đổi.

attachicon.gifScreenshot (1321).png

Hình vẽ nói lên lời giải của mình.

Bài này thật sự không khó lắm, chỉ cần biết các tính chất cơ bản của trực tâm là làm được.


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#43
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{25}$ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của B,C của (O) cắt tiếp tuyến của A tại 2 điểm L,K. Đường thẳng qua K song song với AC cắt đường thẳng qua L song song với AB tại P. Chứng minh BP=CP. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 19-04-2021 - 21:38

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#44
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\boxed{23}$Cho đoạn thẳng $AB=\alpha $ không đổi. Lấy một điểm $M$ bất kì sao cho $\widehat{AMB}$ nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta AMB$. MI là đường trung tuyến của $\Delta AMB$. Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $MI$($K$ thuộc $MI$). Chứng minh rằng $MI.IK$ không đổi.

attachicon.gifScreenshot (1321).png

Hình vẽ nói lên lời giải của mình.

 

Bài này thật sự không khó lắm, chỉ cần biết các tính chất cơ bản của trực tâm là làm được.

Đúng là bài này không khó, thật ra đây là bài ... lớp 8 giải bằng cách xét một cặp tam giác đồng dạng là ra, nhưng mình lại có cách sử dụng đường tròn nên up lên luôn.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#45
Nguyen Van Hoang noob

Nguyen Van Hoang noob

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết

$\boxed{25}$ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của B,C của (O) cắt tiếp tuyến của A tại 2 điểm L,K. Đường thẳng qua K song song với AC cắt đường thẳng qua L song song với AB tại P. Chứng minh BP=CP. 

Hình gửi kèm

  • toán24.png


#46
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{26}$: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi L,M,N lần lượt là trung điểm của AH,EF,BC. Cho X,Y là chân đường cao hạ từ L,N lên tia DF. Chứng minh XM vuông góc với MY                       


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 20-04-2021 - 21:36

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#47
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

$\boxed{26}$: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi L,M,N lần lượt là trung điểm của AH,EF,BC. Cho X,Y là chân đường cao hạ từ L,N lên tia DF. Chứng minh XM vuông góc với MY                       

Dễ thấy L, M, N nằm trên đường trung trực của EF.

Từ đó các tứ giác XLMF, YNMF nội tiếp.

Ta có $\angle XMF+\angle YMF =\angle XLF+\angle YNF=90^o$ nên $XM\perp MY$.

Untitled.png

P/s: Hay anh chữa bài 5, 6 đi, em thấy lâu rồi mà hai bài đó hơi khó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 20-04-2021 - 21:40


#48
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
Ok em... 🙃🙃🙃 chắc tầm mai hoac xi nua nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 20-04-2021 - 22:45

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#49
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Dễ thấy L, M, N nằm trên đường trung trực của EF.

Từ đó các tứ giác XLMF, YNMF nội tiếp.

Ta có $\angle XMF+\angle YMF =\angle XLF+\angle YNF=90^o$ nên $XM\perp MY$.

attachicon.gifUntitled.png

P/s: Hay anh chữa bài 5, 6 đi, em thấy lâu rồi mà hai bài đó hơi khó

 

Chắc anh nói nhanh nhỉ(do k có thời gian)

Bài 5: Gọi M là hình chứ của I lên AC .

Ta sẽ chứng minh được các cặp tam giác AIB đồng dạng với tam giác ACIa và tam giác AIM đồng dạng với tam giác AEIa. Từ đó ta sẽ suy ra được AE=$\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$

Gọi E' là giao điểm của BL với AC thì cũng chứng minh được AE'=$\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$ => đpcm

Bài 6:

Bài này để chứng minh thì ta cần dùng cái công thức tính diện tích của tam giác qua bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Thì cần chứng minh 2 công thức: SABC=p.r (p là nửa chu vi tam giác) và

SABC=(p-a).r. Phần sau biến tỉ hơi căng nhưng mà em cứ biến đổi 1 cách máy móc cũng được, cũng sẽ ra. Nếu có cách hay hơn anh sẽ đăng. P/s: Em với mọi người cùng suy nghĩ nha, bài này khá khó!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 21-04-2021 - 09:12

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#50
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

$\boxed{5}$ Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp và Ia là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A. Đường thẳng qua Ia vuông góc với AIa cắt AC tại E. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của Ia lên AB,AC. L thuộc HK sao cho CL//AB. Chứng minh rằng B,L,E thẳng hàng.

Tính được $AE=\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$; $CK=\frac{BC+AB-AC}{2}$.

Do đó $CE=\frac{AC(AB+BC-AC)}{AB+AC-BC}$.

Mặt khác tam giác CLK cân tại C nên CL = CK.

Ta có $\frac{CL}{AB}=\frac{BC+AB-AC}{2AB}=\frac{EC}{EA}$.

Theo định lý Thales thì B, L, E thẳng hàng.

(Em định làm cách này nhưng không biết cách tính AE :P)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 21-04-2021 - 09:57


#51
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\boxed{27}$Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. $AD, BE, CF$ là các đường cao. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn tại $M$.

a) Chứng minh tứ giác $AMFE$ nội tiếp.

b) Gọi $N$ là trung điểm cạnh $BC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $GH$ vuông góc với $AN$.

Screenshot (1337).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#52
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\boxed{28}$Cho điểm $A$ cố định thuộc trên đường tròn $(O; R)$. $BC$ là dây cung của đường tròn $(O; R)$, $BC$ di động và $\Delta ABC$ nhọn. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $G$. Gọi $S$ là giao điểm của $GD$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $SH$ luôn đi qua một điểm cố định.

Screenshot (8).png


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#53
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

a) Ta có $GM.GA=GB.GC=GF.GE\Rightarrow AMFE$ nội tiếp
b) Gọi I là giao của GH với AN. Giả sử (BNF) cắt (CNE) tại I'. Dễ thấy $\overline{A, N, I'}$ (tính chất quen thuộc)
Ta có NI'EC, AFI'E nội tiếp nên $\widehat{EFI'}=\widehat{EAI'}=\widehat{I'CN}$ $\Rightarrow$ GFI'C nội tiếp
Từ đây dễ cm dc $\widehat{GI'N}=90^{\circ}\Rightarrow GH\perp AN$
Mà A, E, I', F, H, M đồng viên nên $\widehat{AI'H}=90^{\circ}\Rightarrow HI'\perp AN$
$\Rightarrow$ đpcm


ズ刀Oア


#54
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{28}$Cho điểm $A$ cố định thuộc trên đường tròn $(O; R)$. $BC$ là dây cung của đường tròn $(O; R)$, $BC$ di động và $\Delta ABC$ nhọn. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $G$. Gọi $S$ là giao điểm của $GD$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $SH$ luôn đi qua một điểm cố định.

attachicon.gifScreenshot (8).png

Hmmm... Bài này đã có trên diễn đàn và gần đây của anh spiritCreator 
https://diendantoanh...-1-điểm-trên-o/
 


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#55
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{29}$ Cho tam giác ABC có đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BEDC. AH cắt OD và OE lần lượt tại J,I. Chứng minh rằng EJ,DJ,BC đồng quy (Nguồn: Hình học phẳng -Vĩ Đụt)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 21-04-2021 - 17:35

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#56
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{30}$ Đường tròn (O) có dây cung BC cố định, A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường kính AD của (O). BD$\cap$AC=E, CD$\cap$AB=F. Gọi M là trung điểm EF. Tiếp tuyến của E và F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh AK đi qua 1 điểm cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 23-04-2021 - 21:05

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#57
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

$\boxed{29}$ Cho tam giác ABC có đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BEDC. AH cắt OD và OE lần lượt tại J,I. Chứng minh rằng EJ,DJ,BC đồng quy (Nguồn: Hình học phẳng -Vĩ Đụt)

DE cắt BC tại L. AH cắt DE, BC lần lượt tại F, G. K là giao điểm của IE với BC.

Ta có kết quả quen thuộc là (DE, FL) = -1.

Từ đó O(FG, JI) = O(DE, FL) = -1. 

Suy ra $\frac{IF}{IG}=\frac{JF}{JG}$.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác LFG với E, K, I thẳng hàng ta có $\frac{EL}{EF}.\frac{IF}{IG}.\frac{KG}{KL}=1\Rightarrow \frac{DL}{DF}.\frac{JF}{JG}.\frac{KG}{KL}=1$.

Theo định lý Menelaus đảo, ta có K, J, D thẳng hàng. (đpcm)

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (3).png


#58
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

$\boxed{30}$ Đường tròn (O) có dây cung BC cố định, A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường kính AD của (O). BD$\cap$AC=E, CD$\cap$AB=F. Gọi M là trung điểm EF. Tiếp tuyến của E và F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh AK đi qua 1 điểm cố định.

Dễ thấy tứ giác BCEF nội tiếp và $\Delta ABC\sim\Delta AEF$.

Ta có kết quả quen thuộc AK là đường đối trung của tam giác AEF và AM là đường đối trung của tam giác ABC.

Từ đó $\angle MAE=\angle KAF$ nên AK, AM đẳng giác trong góc A.

Vậy AK luôn đi qua trung điểm của cạnh BC.

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (4).png


#59
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\boxed{31}$Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ ($R>r$). Dựng lần lượt hai tiếp tuyến $OB,O'C$ của hai đường tròn $(O';r)$, $(O;R)$ sao cho hai tiếp điểm $B,C$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $OO'$, Từ $B$ vẽ đường thẳng vuông góc với $OO'$ cắt $O'C$ tại $K$, từ $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $OO'$ cắt $OB$ tại $H$.

a) Gọi $D$ là giao điểm của $OB$ và $O'C$. Chứng minh $DO.BO'=CO.DO'$ và $DA$ là tia phân giác của góc $\widehat{ODO'}$.

b) Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $E$ ($E$ khác $A$). Chứng minh tứ giác $OABE$ nội tiếp đường tròn.

c) Đường thẳng $AK$ cắt đường tròn $(O';r)$ tại $F$ ($F$ khác $A$), $L$ là giao điểm của $BC$ và $EF$. Chứng minh $BF$ song song với $CE$ và 3 điểm $A,D,L$ thẳng hàng.

 

Trích trong đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh môn toán tỉnh Quảng Nam năm học 2020-2021. Thi vào ngày 10/4/2021.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#60
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{31}$Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ ($R>r$). Dựng lần lượt hai tiếp tuyến $OB,O'C$ của hai đường tròn $(O';r)$, $(O;R)$ sao cho hai tiếp điểm $B,C$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $OO'$, Từ $B$ vẽ đường thẳng vuông góc với $OO'$ cắt $O'C$ tại $K$, từ $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $OO'$ cắt $OB$ tại $H$.

a) Gọi $D$ là giao điểm của $OB$ và $O'C$. Chứng minh $DO.BO'=CO.DO'$ và $DA$ là tia phân giác của góc $\widehat{ODO'}$.

b) Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $E$ ($E$ khác $A$). Chứng minh tứ giác $OABE$ nội tiếp đường tròn.

c) Đường thẳng $AK$ cắt đường tròn $(O';r)$ tại $F$ ($F$ khác $A$), $L$ là giao điểm của $BC$ và $EF$. Chứng minh $BF$ song song với $CE$ và 3 điểm $A,D,L$ thẳng hàng.

 

Trích trong đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh môn toán tỉnh Quảng Nam năm học 2020-2021. Thi vào ngày 10/4/2021.

Câu này mình có giải rồi. Lời giải của mình:

Hình gửi kèm

  • 168928582_275279767541554_5888325661188756749_n.png

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh