Cho x,y,z>0 T/m: x+y+z=3
Tìm Min: $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 21-08-2019 - 22:57
Đã gửi 17-08-2019 - 20:19
Cho x,y,z>0 T/m: x+y+z=3
Tìm Min: $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 21-08-2019 - 22:57
Đã gửi 18-08-2019 - 23:27
Ta CM $\sum \sqrt[3]{x} \geq \sum xy$
<=> $2\sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} \geq 9 $
<=>$2\sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} +3 \geq 12 $
Ta có :
$ \sum \sqrt[3]{x} + 3 = \sum \sqrt[3]{x} + x+y+z \geq \sum 2\sqrt[3]{x^{2}}$
$2\sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} +3 \geq \sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} + \sum 2\sqrt[3]{x^{2}}$
Ta có : $ \sum \sqrt[3]{x} + \sum \sqrt[3]{x^{2}}$ $\geq \sum 2\sqrt[2]{x} $
Và $\sum x^{2} + \sum \sqrt[3]{x^{2}} \geq \sum 2x\sqrt[3]{x}$
=>$2\sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} +3 \geq 2( \sum \sqrt[2]{x}+x\sqrt[3]{x})$
Ta có : $(\sum \sqrt[2]{x}+x\sqrt[3]{x}) \geq \sum 2\sqrt[6]{x^{11}}$ = $2\sum \frac{x^{2}}{\sqrt[6]{x}} \geq 2\frac{(x+y+z)^{2}}{\sum \sqrt[6]{x}} = \frac{18}{\sum \sqrt[6]{x}} \geq 6$
Suy ra $\sum \sqrt[3]{x} \geq \sum xy$. *
sử dụng đánh giá $(x+y+z)^{2} \geq 3(xy+yz+xz)$
=> 3 $\geq xy+yz+xz$
<=> 1$\geq \frac{xy+yz+xz}{3}$ **
Từ * và ** suy ra min
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 18-08-2019 - 23:27
Đã gửi 18-08-2019 - 23:35
à có cách đơn giản hơn thì phải
3P =$\frac{3+3\sum \sqrt[3]{x}}{xy+yz+xz}$
áp dụng am-gm : $3+3\sum \sqrt[3]{x} = x+y+z + 3\sum\sqrt[3]{x} \geq \sum 4\sqrt[2]{x}$
Ta CM : $ \sum \sqrt[2]{x} \geq xy+yz+xz $
<=> $2\sum \sqrt[2]{x} + \sum x^{2} \geq 9 $
Đúng theo AM-GM : $\sqrt[2]{x}+\sqrt[2]{x}+x^{2} \geq 3x$
Tương tự ta thu được : $2\sum \sqrt[2]{x} + \sum x^{2} \geq 9 $
=> 3P $\geq 4 $
=> Min P
Bài này khá giống câu bất của PTNK năm nào đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 18-08-2019 - 23:42
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $x,y,z>0;x^3+y^3+z^3=3$. Tìm Min, Max $T=\sum\frac{xy}{z}$.Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 08-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $x,y,z\geq 0;x^2+y^2+z^2=3$. Tìm Max $P=6(y+z-x)+27xyz$Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 04-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}\geq 3\sqrt{3}(x+2)$.Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 30-12-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Tìm vị trí của A sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhấtBắt đầu bởi ThIsMe, 14-12-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh $\sum\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq 1$Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 07-12-2020 ![]() |
|
![]() |
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh