Chủ đề này có 2 trả lời

[Thanhlongviemtuoc]

Cho x,y,z>0 T/m: x+y+z=3 

 

Tìm Min: $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 21-08-2019 - 22:57

[vmf999]

Ta CM $\sum \sqrt[3]{x} \geq \sum xy$
<=> $2\sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} \geq 9 $
<=>$2\sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} +3 \geq 12 $
Ta có : 
$ \sum \sqrt[3]{x} + 3 = \sum \sqrt[3]{x} + x+y+z  \geq \sum 2\sqrt[3]{x^{2}}$
$2\sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} +3 \geq \sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} + \sum 2\sqrt[3]{x^{2}}$
Ta có : $ \sum \sqrt[3]{x} +  \sum \sqrt[3]{x^{2}}$ $\geq \sum 2\sqrt[2]{x} $ 
Và $\sum x^{2} + \sum \sqrt[3]{x^{2}} \geq \sum 2x\sqrt[3]{x}$
=>$2\sum \sqrt[3]{x}+\sum x^{2} +3 \geq 2( \sum \sqrt[2]{x}+x\sqrt[3]{x})$
Ta có : $(\sum \sqrt[2]{x}+x\sqrt[3]{x}) \geq \sum 2\sqrt[6]{x^{11}}$ = $2\sum \frac{x^{2}}{\sqrt[6]{x}} \geq 2\frac{(x+y+z)^{2}}{\sum \sqrt[6]{x}} = \frac{18}{\sum \sqrt[6]{x}} \geq 6$
Suy ra $\sum \sqrt[3]{x} \geq \sum xy$. *

sử dụng đánh giá $(x+y+z)^{2} \geq 3(xy+yz+xz)$
=> 3 $\geq xy+yz+xz$
<=> 1$\geq \frac{xy+yz+xz}{3}$ **
Từ * và ** suy ra min 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 18-08-2019 - 23:27

[vmf999]

à có cách đơn giản hơn thì phải 
3P =$\frac{3+3\sum \sqrt[3]{x}}{xy+yz+xz}$
áp dụng am-gm : $3+3\sum \sqrt[3]{x} = x+y+z + 3\sum\sqrt[3]{x} \geq \sum 4\sqrt[2]{x}$
Ta CM : $ \sum \sqrt[2]{x} \geq xy+yz+xz $ 
<=> $2\sum \sqrt[2]{x} + \sum x^{2} \geq 9 $ 
Đúng theo AM-GM :  $\sqrt[2]{x}+\sqrt[2]{x}+x^{2} \geq 3x$

Tương tự ta thu được : $2\sum \sqrt[2]{x} + \sum x^{2} \geq 9 $ 
=> 3P $\geq 4 $
=> Min P 
Bài này khá giống câu bất của PTNK năm nào đó 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 18-08-2019 - 23:42