Chủ đề này có 4 trả lời

[killerdark68]

1/cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=1 Tìm min A=$\frac{\sum a^4}{\sum a^3}$

2/cho a$\neq b\neq c$ Tìm min A=$\sum \frac{x^3-y^3}{(x-y)^3}$

3/cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=1 Tìm min A=$\sum \frac{x^8}{(x^2+y^2)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 16-08-2014 - 05:29

[phamquanglam]

1/cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=1 Tìm min A=$\frac{\sum a^4}{\sum a^3}$

Ta đi chứng minh: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\geq \frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$

Áp dụng Cauchy-Schwarz: $(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})(a+b+c+d)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}).\frac{1}{4}(a+b+c+d)^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\geq \frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$

Vào bài ta có:

$(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})^{2}\Leftrightarrow (a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\Rightarrow (a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})\geq \frac{1}{4}(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\Rightarrow \frac{\sum a^{4}}{\sum a^{3}}\geq \frac{1}{4}$

[phamquanglam]

3/cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=1 Tìm min A=$\sum \frac{x^8}{(x^2+y^2)^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{x^{8}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.(1+1+1)\geq (\sum \frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}})^{2}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx=1\Rightarrow \sum \frac{x^{8}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\geq \frac{1}{3}$

[thanhgia9a108]

câu thứ 2 làm thế nào ạ

[KietLW9]

 

2/cho a$\neq b\neq c$ Tìm min A=$\sum \frac{x^3-y^3}{(x-y)^3}$

 

Ta có đẳng thức: $\frac{x+y}{x-y}.\frac{y+z}{y-z}+\frac{y+z}{y-z}.\frac{z+x}{z-x}+\frac{z+x}{z-x}. \frac{x+y}{x-y} =-1$

Ta luôn có: $(\frac{x+y}{x-y}+\frac{y+z}{y-z}+\frac{z+x}{z-x})^2\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{x+y}{x-y})^2+2(\frac{x+y}{x-y}.\frac{y+z}{y-x}+\frac{y+z}{y-z}.\frac{z+x}{z-x}+\frac{z+x}{z-x}.\frac{x+y}{x-y})\geqslant 0$

Vậy $\sum (\frac{x+y}{x-y})^2\geqslant 2 $(*)

hay $\sum \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2}\geqslant \frac{5}{2}$ (1)

Trừ 3 cho hai vế của (*), ta được:$ \sum ((\frac{x+y}{x-y})^2-1)\geqslant -1\Leftrightarrow \sum \frac{4xy}{(x-y)^2}\geqslant -1\Leftrightarrow  \sum \frac{xy}{(x-y)^2}\geqslant \frac{-1}{4}$ (2)

Cộng theo vế hai BĐT (1) và (2), ta được: $\sum \frac{x^2+y^2+xy}{(x-y)^2}\geqslant \frac{9}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)(x^2+y^2+xy)}{(x-y)^3}\geqslant \frac{9}{4}\Rightarrow Q.E.D$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x+y}{x-y}+\frac{y+z}{y-z}+\frac{z+x}{z-x}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 28-03-2021 - 18:07