Chủ đề này có 51 trả lời

[Thanhlongviemtuoc]

Bài 1: Cho a,b,c $\epsilon [0;4];a+b+c=6$. Tìm GTLN của 

A= a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca

Bài 2: cho a,b,c không âm phân biệt. Tìm GTNN của 

P=$A=(\sum a^2)[\sum \frac{1}{(a-b)^2}]$

Bài 3: Cho a,b,c > 0 t/m $a+b+c=\sqrt{5}$ Tìm GTLN

P= $[(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)]$

Bài 4: Cho x,y,z>0 , xyz$\geq$1 và z$\leq 1$

Tìm GTNN $P=\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+\frac{4-z^3}{3+3xy}$

[Thanhlongviemtuoc]

Ai vào làm đi khó quá!!!!!!!!

[Le Sy The Anh]

Bài 1: Cho a,b,c $\epsilon [0;4];a+b+c=6$. Tìm GTLN của 

A= a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca

Ta có: $a,b,c\geq 4 =>(4-a)(4-b)(4-c)\geq 0$

<=> $64-16a-16b-16c+4ab+4bc+4ca-abc\geq 0$

<=> $64-96+4ab+4bc+4ca-abc\geq 0$

<=> $ab+bc+ca\geq 8+abc\geq 8$

=> A= $(a+b+c)^2-ab-bc-ca\leq 28$.

Dấu bằng xảy ra <=> (a,b,c)= (0;2;4) và các hoán vị

[Thanhlongviemtuoc]

2,3,4 khó kìa câu 1 đang còn dễ chán men nào vào giải với !!!!!!!!!!!!!!!    

[Sin99]

Bài 4) Ta có $ x+ y \geq 2\sqrt{xy} \geq 2\sqrt{\frac{1}{z}} \geq 2 $ 

Đặt $ \frac{x+y}{2} = t $ suy ra $ t \geq 1 $ 

$ P = \frac{x^2}{x+xy} + \frac{y^2}{y+xy} + \frac{4-z^3}{3+ 3xy} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy} + \frac{3}{3+\frac{3(x+y)^2}{4} } \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+\frac{(x+y)^2}{2} } + \frac{1}{1+ \frac{(x+y)^2}{4} } = \frac{2t}{1+t} + \frac{1}{1 + t^2 } $ 

Ta chứng minh $ \frac{2t}{1+t} + \frac{1}{1 + t^2 } \geq \frac{3}{2} $ với $ t \geq 1 $ 

Bằng biến đổi tương đương BĐT đúng. 

Vậy Min P = 3/2 khi $ x = y = z = 1 $ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 23-08-2019 - 17:46

[Thanhlongviemtuoc]

 

$ P = \frac{x^2}{x+xy} + \frac{y^2}{y+xz} + \frac{4-z^3}{3+ 3xy} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy} + \frac{3}{3+\frac{3(x+y)^2}{4} } $

bạn có thể giải thích rõ chỗ này dc k ??/

[Sin99]

$ z \leq 1 $ suy ra $ 4 - z^3 \geq 4 - 1 = 3 $ 

[darlingken]

Bài 2:

chứng minh $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$ với x,y khác 0 bằng cách biến đổi tương đương.

Ta có P=$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$.

$\Rightarrow P\geq (a^{2}+c^{2})(\frac{8}{(a-b+b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$.

$\Rightarrow P\geq (\frac{(a-c)^{2})}{2})(\frac{9}{(a-c)^{2}})\geq \frac{9}{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi a=1, b=0, c=-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi darlingken: 22-08-2019 - 21:50

[darlingken]

Bài 3 nếu đề như vậy thì Max P=0 với a=b là đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi darlingken: 22-08-2019 - 22:04

[Sin99]

Bài 3 nếu đề như vậy thì Max P=0 với a=b là đc

Max mà bác, có phải min đâu :V 

[Thanhlongviemtuoc]

 

 

$ P = \frac{x^2}{x+xy} + \frac{y^2}{y+xz} + \frac{4-z^3}{3+ 3xy} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy} $ k ý mình là xy+xz sao lại = 2xy

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 22-08-2019 - 23:43

[Eugeo Synthesis 32]

Bài 5: Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=2$. Chứng minh:

$\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\leq \frac{1}{2}$

(Trích đề thi toán chuyên vào 10 Quốc Học Huế năm 2019-2020)

P/s: Mọi người cho em 1 số bí kíp để làm ra BĐT được không ạ, em mới tiếp xúc nên chưa quen     

[Tran Thanh Phuong]

Góp thêm đề chuyên Hải Dương năm nay :

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm max : $P=a\sqrt{b^3+1} + b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}$

[Sin99]

 

 

 

$ P = \frac{x^2}{x+xy} + \frac{y^2}{y+xz} + \frac{4-z^3}{3+ 3xy} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy} $ k ý mình là xy+xz sao lại = 2xy

 

 

Mình gõ nhầm :vv sr bác , bản chất là qui đồng phân thức (1) cho x, phân thức 2 cho y ak 

[Sin99]

Bài 5: Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=2$. Chứng minh:

$\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\leq \frac{1}{2}$

(Trích đề thi toán chuyên vào 10 Quốc Học Huế năm 2019-2020)

P/s: Mọi người cho em 1 số bí kíp để làm ra BĐT được không ạ, em mới tiếp xúc nên chưa quen     

Bài 5. Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x = y = 1, z = 2, ta có đánh giá bằng AM-GM dưới mẫu : 

 $ VT \leq \frac{x}{2xy+2x+4} + \frac{2y}{4yz+4y+4} + \frac{4z}{4xz+ 8z+8} = \frac{x}{2xy+2x+4} + \frac{y}{2yz+2y+2} + \frac{z}{xz+2z+2} = \frac{x}{2xy+2x+4} + \frac{xy}{2xyz+2xy+2x} + \frac{xyz}{2xy+2xyz+x^2yz} = \frac{x}{2xy+2x+4} + \frac{xy}{2xy+2x+4} + \frac{2}{2xy+2x+4} = \frac{1}{2} $ 

(P\s: Đọc sách và làm nhiều bài tập là một ý hay để thuần thục BĐT hơn   )

[Thanhlongviemtuoc]

Bài 2:

chứng minh $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$ với x,y khác 0 bằng cách biến đổi tương đương.

Ta có P=$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$.

$\Rightarrow P\geq (a^{2}+c^{2})(\frac{8}{(a-b+b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$.

$\Rightarrow P\geq (\frac{(a-c)^{2})}{2})(\frac{9}{(a-c)^{2}})\geq \frac{9}{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi a=1, b=0, c=-1

sao cái trước là a^2+c^2 mà cái sau lại là (a-c)^2 ????

Hơi vô lý à nha

[Thanhlongviemtuoc]

Bài 6: Cho $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+15}=\frac{x+y}{2}$ 

Tìm GTLN,NN của P=x+y

Bài 7: Cho x,y,z >0, xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của $P=\sum \frac{1}{a^2+1}$

Bài 8: Cho x,y,z>0, $a^2+b^2+c^2=3$. CMR: $\sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sum a$

Bài 9: Cho $x,y,z\epsilon (0;1),xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$

CMR: $\frac{x^2+x^4}{y}+\frac{y^2+y^4}{z}+\frac{z^2+z^4}{x}\geq \frac{15}{8}$

Bài 10: Cho a,b,c$\geq 0$, min{a+b,b+c,c+a}>0 t/m $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$

Tìm GTNN của: $P=\sum \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}$

Bài 11: Cho a,b,c > 0 CMR: $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Bài 12: Cho $\left\{\begin{matrix} \sum x^2=5 & & \\ x-y+z=3 \end{matrix}\right.$ 

Tìm GTLN,NN của $P=\frac{x+y-2}{z+2}$

Mấy thánh vào giải với khó quá nà @@@@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 30-08-2019 - 09:48

[Sin99]

Bài 7) Ta sẽ chứng minh $ \sum \frac{1}{a^2+1} \geq \frac{3}{2} $ 

hay $ \sum \frac{a^2}{a^2+1} \leq \frac{3}{2} $ 

Ta có $ \sum \frac{a^2}{a^2+1} = \sum \frac{3a^2}{3a^2 + 3} = \sum \frac{3a^2}{2a^2+bc+a^2+ab+ac} \leq  $ 

$\frac{1}{4} \sum ( \frac{3a^2}{2a^2+bc} + \frac{3a}{a+b+c} ) = \frac{1}{4} \sum \frac{3a^2}{2a^2+bc} + \frac{3}{4}$ 

Ta cần chứng minh $ \sum \frac{a^2}{2a^2+bc} \leq 1 $ ( Đây là bài toán quen thuộc )

Vậy $ VT \leq \frac{3}{4} + \frac{3}{4}  = \frac{3}{2} $ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 25-08-2019 - 19:35

[Sin99]

Bài 11)

$ VT = \sum \frac{a^4}{a^2b} \geq \frac{ (\sum a^2)^2}{\sum a^2b} \geq \frac{ 3(\sum a^2)^2}{( \sum a^2)( \sum a )} = \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} } = \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} \geq VP $ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 25-08-2019 - 20:05

[darlingken]

sao cái trước là a^2+c^2 mà cái sau lại là (a-c)^2 ????

Hơi vô lý à nha

có $a^{2}+c^{2}=a^{2}+(-c)^{2}\geq \frac{(a-c)^{2}}{2}$