Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Những bài BĐt thi chuyên

bđt cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 51 trả lời

#1 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 19-08-2019 - 15:24

Bài 1: Cho a,b,c $\epsilon [0;4];a+b+c=6$. Tìm GTLN của 

A= a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca

Bài 2: cho a,b,c không âm phân biệt. Tìm GTNN của 

P=$A=(\sum a^2)[\sum \frac{1}{(a-b)^2}]$

Bài 3: Cho a,b,c > 0 t/m $a+b+c=\sqrt{5}$ Tìm GTLN

P= $[(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)]$

Bài 4: Cho x,y,z>0 , xyz$\geq$1 và z$\leq 1$

Tìm GTNN $P=\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+\frac{4-z^3}{3+3xy}$



#2 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 20-08-2019 - 11:13

Ai vào làm đi khó quá!!!!!!!!



#3 Le Sy The Anh

Le Sy The Anh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đông Sơn, Thanh Hóa

Đã gửi 21-08-2019 - 20:54

Bài 1: Cho a,b,c $\epsilon [0;4];a+b+c=6$. Tìm GTLN của 

A= a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca

Ta có: $a,b,c\geq 4 =>(4-a)(4-b)(4-c)\geq 0$

<=> $64-16a-16b-16c+4ab+4bc+4ca-abc\geq 0$

<=> $64-96+4ab+4bc+4ca-abc\geq 0$

<=> $ab+bc+ca\geq 8+abc\geq 8$

=> A= $(a+b+c)^2-ab-bc-ca\leq 28$.

Dấu bằng xảy ra <=> (a,b,c)= (0;2;4) và các hoán vị



#4 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 21-08-2019 - 22:24

2,3,4 khó kìa câu 1 đang còn dễ chán men nào vào giải với !!!!!!!!!!!!!!! :ohmy:  :wacko:  :wacko:



#5 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-08-2019 - 23:46

Bài 4) Ta có $ x+ y \geq 2\sqrt{xy} \geq 2\sqrt{\frac{1}{z}} \geq 2 $ 

Đặt $ \frac{x+y}{2} = t $ suy ra $ t \geq 1 $ 

$ P = \frac{x^2}{x+xy} + \frac{y^2}{y+xy} + \frac{4-z^3}{3+ 3xy} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy} + \frac{3}{3+\frac{3(x+y)^2}{4} } \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+\frac{(x+y)^2}{2} } + \frac{1}{1+ \frac{(x+y)^2}{4} } = \frac{2t}{1+t} + \frac{1}{1 + t^2 } $ 

Ta chứng minh $ \frac{2t}{1+t} + \frac{1}{1 + t^2 } \geq \frac{3}{2} $ với $ t \geq 1 $ 

Bằng biến đổi tương đương BĐT đúng. 

Vậy Min P = 3/2 khi $ x = y = z = 1 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 23-08-2019 - 17:46

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#6 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 22-08-2019 - 09:50


 

$ P = \frac{x^2}{x+xy} + \frac{y^2}{y+xz} + \frac{4-z^3}{3+ 3xy} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy} + \frac{3}{3+\frac{3(x+y)^2}{4} } $

bạn có thể giải thích rõ chỗ này dc k ??/



#7 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-08-2019 - 16:28

$ z \leq 1 $ suy ra $ 4 - z^3 \geq 4 - 1 = 3 $ 


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#8 darlingken

darlingken

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên LHP Nam Định
  • Sở thích:yêu anime và nghiện nhạc

Đã gửi 22-08-2019 - 21:48

Bài 2:

chứng minh $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$ với x,y khác 0 bằng cách biến đổi tương đương.

Ta có P=$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$.

$\Rightarrow P\geq (a^{2}+c^{2})(\frac{8}{(a-b+b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$.

$\Rightarrow P\geq (\frac{(a-c)^{2})}{2})(\frac{9}{(a-c)^{2}})\geq \frac{9}{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi a=1, b=0, c=-1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi darlingken: 22-08-2019 - 21:50


#9 darlingken

darlingken

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên LHP Nam Định
  • Sở thích:yêu anime và nghiện nhạc

Đã gửi 22-08-2019 - 22:04

Bài 3 nếu đề như vậy thì Max P=0 với a=b là đc


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi darlingken: 22-08-2019 - 22:04


#10 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-08-2019 - 22:08

Bài 3 nếu đề như vậy thì Max P=0 với a=b là đc

Max mà bác, có phải min đâu :V 


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#11 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 22-08-2019 - 23:41

 

 

$ P = \frac{x^2}{x+xy} + \frac{y^2}{y+xz} + \frac{4-z^3}{3+ 3xy} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy} $ k ý mình là xy+xz sao lại = 2xy

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 22-08-2019 - 23:43


#12 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 22-08-2019 - 23:43

Bài 5: Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=2$. Chứng minh:

$\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\leq \frac{1}{2}$

(Trích đề thi toán chuyên vào 10 Quốc Học Huế năm 2019-2020)

P/s: Mọi người cho em 1 số bí kíp để làm ra BĐT được không ạ, em mới tiếp xúc nên chưa quen  :(  :( 



#13 Tran Thanh Phuong

Tran Thanh Phuong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 23-08-2019 - 11:43

Góp thêm đề chuyên Hải Dương năm nay :

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm max : $P=a\sqrt{b^3+1} + b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}$


CNT


#14 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-08-2019 - 17:45

 

 

 

$ P = \frac{x^2}{x+xy} + \frac{y^2}{y+xz} + \frac{4-z^3}{3+ 3xy} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy} $ k ý mình là xy+xz sao lại = 2xy

 

 

Mình gõ nhầm :vv sr bác , bản chất là qui đồng phân thức (1) cho x, phân thức 2 cho y ak  :D


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#15 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-08-2019 - 18:06

Bài 5: Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=2$. Chứng minh:

$\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\leq \frac{1}{2}$

(Trích đề thi toán chuyên vào 10 Quốc Học Huế năm 2019-2020)

P/s: Mọi người cho em 1 số bí kíp để làm ra BĐT được không ạ, em mới tiếp xúc nên chưa quen  :(  :( 

Bài 5. Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x = y = 1, z = 2, ta có đánh giá bằng AM-GM dưới mẫu : 

 $ VT \leq \frac{x}{2xy+2x+4} + \frac{2y}{4yz+4y+4} + \frac{4z}{4xz+ 8z+8} = \frac{x}{2xy+2x+4} + \frac{y}{2yz+2y+2} + \frac{z}{xz+2z+2} = \frac{x}{2xy+2x+4} + \frac{xy}{2xyz+2xy+2x} + \frac{xyz}{2xy+2xyz+x^2yz} = \frac{x}{2xy+2x+4} + \frac{xy}{2xy+2x+4} + \frac{2}{2xy+2x+4} = \frac{1}{2} $ 

(P\s: Đọc sách và làm nhiều bài tập là một ý hay để thuần thục BĐT hơn  :icon6: )


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#16 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 24-08-2019 - 07:30

Bài 2:

chứng minh $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$ với x,y khác 0 bằng cách biến đổi tương đương.

Ta có P=$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$.

$\Rightarrow P\geq (a^{2}+c^{2})(\frac{8}{(a-b+b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$.

$\Rightarrow P\geq (\frac{(a-c)^{2})}{2})(\frac{9}{(a-c)^{2}})\geq \frac{9}{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi a=1, b=0, c=-1

sao cái trước là a^2+c^2 mà cái sau lại là (a-c)^2 ????

Hơi vô lý à nha :(



#17 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 25-08-2019 - 14:40

Bài 6: Cho $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+15}=\frac{x+y}{2}$ 

Tìm GTLN,NN của P=x+y

Bài 7: Cho x,y,z >0, xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của $P=\sum \frac{1}{a^2+1}$

Bài 8: Cho x,y,z>0, $a^2+b^2+c^2=3$. CMR: $\sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sum a$

Bài 9: Cho $x,y,z\epsilon (0;1),xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$

CMR: $\frac{x^2+x^4}{y}+\frac{y^2+y^4}{z}+\frac{z^2+z^4}{x}\geq \frac{15}{8}$

Bài 10: Cho a,b,c$\geq 0$, min{a+b,b+c,c+a}>0 t/m $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$

Tìm GTNN của: $P=\sum \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}$

Bài 11: Cho a,b,c > 0 CMR: $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Bài 12: Cho $\left\{\begin{matrix} \sum x^2=5 & & \\ x-y+z=3 \end{matrix}\right.$ 

Tìm GTLN,NN của $P=\frac{x+y-2}{z+2}$

Mấy thánh vào giải với khó quá nà @@@@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 30-08-2019 - 09:48


#18 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-08-2019 - 18:04

Bài 7) Ta sẽ chứng minh $ \sum \frac{1}{a^2+1} \geq \frac{3}{2} $ 

hay $ \sum \frac{a^2}{a^2+1} \leq \frac{3}{2} $ 

Ta có $ \sum \frac{a^2}{a^2+1} = \sum \frac{3a^2}{3a^2 + 3} = \sum \frac{3a^2}{2a^2+bc+a^2+ab+ac} \leq  $ 

$\frac{1}{4} \sum ( \frac{3a^2}{2a^2+bc} + \frac{3a}{a+b+c} ) = \frac{1}{4} \sum \frac{3a^2}{2a^2+bc} + \frac{3}{4}$ 

Ta cần chứng minh $ \sum \frac{a^2}{2a^2+bc} \leq 1 $ ( Đây là bài toán quen thuộc )

Vậy $ VT \leq \frac{3}{4} + \frac{3}{4}  = \frac{3}{2} $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 25-08-2019 - 19:35

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#19 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-08-2019 - 20:05

Bài 11)

$ VT = \sum \frac{a^4}{a^2b} \geq \frac{ (\sum a^2)^2}{\sum a^2b} \geq \frac{ 3(\sum a^2)^2}{( \sum a^2)( \sum a )} = \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} } = \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} \geq VP $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 25-08-2019 - 20:05

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#20 darlingken

darlingken

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên LHP Nam Định
  • Sở thích:yêu anime và nghiện nhạc

Đã gửi 25-08-2019 - 20:32

sao cái trước là a^2+c^2 mà cái sau lại là (a-c)^2 ????

Hơi vô lý à nha :(

có $a^{2}+c^{2}=a^{2}+(-c)^{2}\geq \frac{(a-c)^{2}}{2}$







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh