Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Những bài BĐt thi chuyên

bđt cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 52 trả lời

#41 Le Sy The Anh

Le Sy The Anh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đông Sơn, Thanh Hóa

Đã gửi 15-09-2019 - 22:54

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=3.

Tìm  GTNN của $A= \frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Sy The Anh: 15-09-2019 - 22:56


#42 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 16-09-2019 - 19:39

Cho tam thức $P(x)=ax^2+bx+c$ với a,b,c là các số thực, a<b, $P(x)\geq0$, với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{a+b+c}{b-a}$

Solved by Ha Hâ Há:

Ta có nhận xét: với mọi tam thức bậc 2 ta đều có $P(x)=ax^2+bx+c\geq 0,\forall x\epsilon \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix}\right.$

$\Delta \leq 0 \Rightarrow b^2\leq 4ac \Rightarrow \left\{\begin{matrix} c>0 \\ \frac{b}{a}\leq \frac{4c}{b} \end{matrix}\right.$

Đặt $x=\frac{b}{a}(x>1),y=\frac{c}{b} \Rightarrow x\leq 4y$

$T=\frac{a+b+c}{b-a}=\frac{1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}{\frac{b}{a}-1}=\frac{1+x+xy}{x-1}\geq \frac{1+x+x.\frac{x}{4}}{x-1}=\frac{x^2+4x+4}{4(x-1)}=\frac{1}{4}.\frac{(x-1)^2+6(x-1)+9}{x-1}=\frac{1}{4}(x-1+\frac{9}{x-1})+\frac{6}{4}\geq 3$

Vậy $Tmin=3 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4 \\ b^2=4ac \end{matrix}\right. \Leftrightarrow b=c=4a(a,b,c>0)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 16-09-2019 - 19:43


#43 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 542 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-09-2019 - 22:37

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=3.

Tìm  GTNN của $A= \frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}$

$ A = \sum \frac{a^4}{a^3+2a^2b^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ \sum a^3 + \sum 2 a^2b^2 }  $ 

Cần chứng minh  $ (a^2+b^2+c^2)^2 \geq \sum a^3 + \sum 2 a^2b^2 <=> a^4 + b^4 + c^4 \geq a^3 + b^3 +c^3 $ 

Có $ a^4 + a^4 + a^4 + 1 \geq 4a^3 $ Tương tự, kết hợp $ a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9} = 3 $ Ta có đpcm.


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#44 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 19-09-2019 - 22:39

Bài 3: cm $\frac{a^4+b^4}{2}\geq ab^3+a^3b-a^2b^2$

Giải:

BĐT cần cm tương đương $\frac{a^4+b^4}{2}+a^2+b^2\geq a^3b+b^3a \Leftrightarrow (a^2+b^2)^2\geq 2ab(a^2+b^2)\Leftrightarrow a^2+b^2 \geq 2ab$ (đây là bđt đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 19-09-2019 - 22:39


#45 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 385 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{C.Toán-CNT}}$
  • Sở thích:$Manchester-United$

Đã gửi 29-07-2020 - 23:23

Cho $a,b,c$ dương có tổng bằng 3 . CMR $\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$

Đây lại tình cờ là câu bất trong đề của Phan Bội Châu năm nay đấy ^^ 

$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3.\sqrt[6]{\frac{\prod_{cyc}(a+b)}{\prod_{cyc}(c+ab)}}$

Cần chứng minh $\prod_{cyc}(a+b)\geq \prod_{cyc}(c+ab)\rightarrow [\prod_{cyc}(a+b)]^2\geq [\prod_{cyc}(c+ab)]^2\rightarrow VT\geq_{\frac{8}{9}ineq} \frac{64}{81}(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2\geq_{AM-GM} \frac{64}{27}(ab+bc+ca)^3$

Nên cần chứng minh: $\frac{64}{27}(ab+bc+ca)^3\geq [\prod_{cyc}(a+bc)]^2$

Xét tổng: $\sum_{cyc}(a+bc)(b+ca)=abc(a+b+c)+\sum_{cyc}ab(a+b)+\sum_{cyc}ab=3abc+4\sum_{cyc}ab-3abc=4\sum_{cyc}ab$

Lại có: $4(ab+bc+ca)=\sum_{cyc}(a+bc)(b+ca)\geq 3.\sqrt[3]{[\prod_{cyc}(a+bc)]^2}\rightarrow \frac{64}{27}(ab+bc+ca)^3\geq \prod_{cyc}(a+bc)^2$

Từ đó ta có điều phải chứng minh.                          $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 29-07-2020 - 23:31

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#46 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1003 Bài viết

Đã gửi 30-07-2020 - 00:17

Đây lại tình cờ là câu bất trong đề của Phan Bội Châu năm nay đấy ^^ 

$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3.\sqrt[6]{\frac{\prod_{cyc}(a+b)}{\prod_{cyc}(c+ab)}}$

Cần chứng minh $\prod_{cyc}(a+b)\geq \prod_{cyc}(c+ab)\rightarrow [\prod_{cyc}(a+b)]^2\geq [\prod_{cyc}(c+ab)]^2\rightarrow VT\geq_{\frac{8}{9}ineq} \frac{64}{81}(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2\geq_{AM-GM} \frac{64}{27}(ab+bc+ca)^3$

Nên cần chứng minh: $\frac{64}{27}(ab+bc+ca)^3\geq [\prod_{cyc}(a+bc)]^2$

Xét tổng: $\sum_{cyc}(a+bc)(b+ca)=abc(a+b+c)+\sum_{cyc}ab(a+b)+\sum_{cyc}ab=3abc+4\sum_{cyc}ab-3abc=4\sum_{cyc}ab$

Lại có: $4(ab+bc+ca)=\sum_{cyc}(a+bc)(b+ca)\geq 3.\sqrt[3]{[\prod_{cyc}(a+bc)]^2}\rightarrow \frac{64}{27}(ab+bc+ca)^3\geq \prod_{cyc}(a+bc)^2$

Từ đó ta có điều phải chứng minh.                          $\blacksquare$

HAY



#47 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 30-07-2020 - 08:47

Cho $a,b,c$ dương có tổng bằng 3 . CMR $\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$

Lời giải khác cho bài toán: Áp dụng BĐT AM-GM: $VT=\sum_{cyc}{\frac{b+c}{\sqrt{(b+c)(a+bc)}}}\geq 2\sum_{cyc}{\frac{b+c}{bc+3}}$

Cần chứng minh: $\sum_{cyc}{\frac{b+c}{bc+3}}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT: $(X+Y+Z)^{2}\geq 3(YZ+ZX+XY)$, ta đưa về chứng minh:

$\sum_{cyc}{\frac{(a+b)(a+c)}{(ab+3)(ac+3)}}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4q^{2}+27\geq 3r^{2}+15r+15q$ (với $p=a+b+c; q=bc+ca+ab; r=abc$), hay

$p^{6}+12p^{2}q^{2}\geq 81r^{2}+15p^{3}r+5p^{4}q$

$\Leftrightarrow (p^{2}-3q)(p^{2}-2q)+(pq-9r)(pq+9r)+5p^{2}(q^{2}-3pr)\geq 0$, đúng do các bất đẳng thức sau:

$(a+b+c)^{2}\geq 3(bc+ca+ab); (a+b+c)(bc+ca+ab)\geq 9abc; (bc+ca+ab)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 30-07-2020 - 08:47


#48 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 385 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{C.Toán-CNT}}$
  • Sở thích:$Manchester-United$

Đã gửi 30-07-2020 - 09:02

Lời giải khác cho bài toán: Áp dụng BĐT AM-GM: $VT=\sum_{cyc}{\frac{b+c}{\sqrt{(b+c)(a+bc)}}}\geq 2\sum_{cyc}{\frac{b+c}{bc+3}}$

Cần chứng minh: $\sum_{cyc}{\frac{b+c}{bc+3}}\geq \frac{3}{2}$

Cách bạn ổn đấy, mình tình cờ thấy bài này có thể đưa về bài $183$ trong topic Bất đẳng thức của anh Đức :) 

https://diendantoanh...-16#entry731557


"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#49 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 30-07-2020 - 09:47

Cách bạn ổn đấy, mình tình cờ thấy bài này có thể đưa về bài $183$ trong topic Bất đẳng thức của anh Đức :) 

https://diendantoanh...-16#entry731557

Mình cũng đã giải trên đó rồi :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 30-07-2020 - 09:48


#50 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 30-07-2020 - 09:55

Bài 1: Cho a,b,c $\epsilon [0;4];a+b+c=6$. Tìm GTLN của 

A= a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca

Bài 2: cho a,b,c không âm phân biệt. Tìm GTNN của 

P=$A=(\sum a^2)[\sum \frac{1}{(a-b)^2}]$

Bài 3: Cho a,b,c > 0 t/m $a+b+c=\sqrt{5}$ Tìm GTLN

P= $[(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)]$

Bài 4: Cho x,y,z>0 , xyz$\geq$1 và z$\leq 1$

Tìm GTNN $P=\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+\frac{4-z^3}{3+3xy}$

Bài 3: Không mất tính tổng quát, giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong ba số $a,b,c$.

$\Rightarrow P^{2}=(b-c)^{2}(c-a)^{2}(a-b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}(a+b)^{2}\leq 5(bc+ca+ab)^{2}a^{2}b^{2}(a-b)^{2}=\\=5.ab.ab.(a-b)^{2}.(bc+ca+ab).(bc+ca+ab)\leq 5.[\frac{ab+ab+(a-b)^{2}+2(bc+ca+ab)}{5}]^{5}\leq \frac{(a+b+c)^{10}}{5^{4}}=5$

$\Rightarrow P\leq \sqrt{5}$

Vậy $maxP=\sqrt{5}$ khi $a=0; b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; c=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và các hoán vị tương ứng. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 30-07-2020 - 09:55


#51 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 30-07-2020 - 10:11

Bài 6: Cho $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+15}=\frac{x+y}{2}$ 

Tìm GTLN,NN của P=x+y

Bài 7: Cho x,y,z >0, xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của $P=\sum \frac{1}{a^2+1}$

Bài 8: Cho x,y,z>0, $a^2+b^2+c^2=3$. CMR: $\sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sum a$

Bài 9: Cho $x,y,z\epsilon (0;1),xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$

CMR: $\frac{x^2+x^4}{y}+\frac{y^2+y^4}{z}+\frac{z^2+z^4}{x}\geq \frac{15}{8}$

Bài 10: Cho a,b,c$\geq 0$, min{a+b,b+c,c+a}>0 t/m $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$

Tìm GTNN của: $P=\sum \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}$

Bài 11: Cho a,b,c > 0 CMR: $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Bài 12: Cho $\left\{\begin{matrix} \sum x^2=5 & & \\ x-y+z=3 \end{matrix}\right.$ 

Tìm GTLN,NN của $P=\frac{x+y-2}{z+2}$

Mấy thánh vào giải với khó quá nà @@@@

Sol khác cho bài 7: Ta có bổ đề sau: Với $x,y>0: xy\geq 1$, ta có bất đẳng thức:

$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}\geq \frac{2}{xy+1}$

Thật vậy, bất đẳng thức đó tương đương với: $\frac{(x-y)^{2}(xy-1)}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)(xy+1)}\geq 0$ (đúng)

Trở lại bài toán, giả sử $xy$ là số lớn nhất trong 3 số $yz,zx,xy\Rightarrow xy\geq 1$.

Áp dụng bổ đề, ta cần chứng minh: $\frac{2}{xy+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{xy+1}-\frac{1}{2}\geq 1-\frac{1}{z^{2}+1}$

$\Leftrightarrow \frac{z(x+y)}{2(xy+1)}=\frac{3-xy}{2(xy+1)}\geq \frac{z^{2}}{z^{2}+1}$

$\Leftrightarrow (x+y)(z^{2}+1)\geq 2z(xy+1)$

$\Leftrightarrow z(3-xy)+x+y\geq 2xyz+2z$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq 3xyz$, đúng do $3(x+y+z)=(x+y+z)(yz+zx+xy)\geq 9xyz$

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $x=y=z=1$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 30-07-2020 - 10:11


#52 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 30-07-2020 - 10:18

Bài 6: Cho $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+15}=\frac{x+y}{2}$ 

Tìm GTLN,NN của P=x+y

Bài 7: Cho x,y,z >0, xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của $P=\sum \frac{1}{a^2+1}$

Bài 8: Cho x,y,z>0, $a^2+b^2+c^2=3$. CMR: $\sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sum a$

Bài 9: Cho $x,y,z\epsilon (0;1),xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$

CMR: $\frac{x^2+x^4}{y}+\frac{y^2+y^4}{z}+\frac{z^2+z^4}{x}\geq \frac{15}{8}$

Bài 10: Cho a,b,c$\geq 0$, min{a+b,b+c,c+a}>0 t/m $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$

Tìm GTNN của: $P=\sum \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}$

Bài 11: Cho a,b,c > 0 CMR: $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Bài 12: Cho $\left\{\begin{matrix} \sum x^2=5 & & \\ x-y+z=3 \end{matrix}\right.$ 

Tìm GTLN,NN của $P=\frac{x+y-2}{z+2}$

Mấy thánh vào giải với khó quá nà @@@@

Bài 10: Ta có: $P\geq \frac{\sum{\sqrt{bc}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \sqrt{\frac{bc+ca+ab}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $minP=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi $a=0;b=c$ và các hoán vị tương ứng. $\square$



#53 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 30-07-2020 - 10:26

Bài 6: Cho $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+15}=\frac{x+y}{2}$ 

Tìm GTLN,NN của P=x+y

Bài 7: Cho x,y,z >0, xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của $P=\sum \frac{1}{a^2+1}$

Bài 8: Cho x,y,z>0, $a^2+b^2+c^2=3$. CMR: $\sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sum a$

Bài 9: Cho $x,y,z\epsilon (0;1),xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$

CMR: $\frac{x^2+x^4}{y}+\frac{y^2+y^4}{z}+\frac{z^2+z^4}{x}\geq \frac{15}{8}$

Bài 10: Cho a,b,c$\geq 0$, min{a+b,b+c,c+a}>0 t/m $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$

Tìm GTNN của: $P=\sum \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}$

Bài 11: Cho a,b,c > 0 CMR: $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Bài 12: Cho $\left\{\begin{matrix} \sum x^2=5 & & \\ x-y+z=3 \end{matrix}\right.$ 

Tìm GTLN,NN của $P=\frac{x+y-2}{z+2}$

Mấy thánh vào giải với khó quá nà @@@@

Sol khác cho bài 11: Ta có: $\frac{a^{2}}{b}+3b=\frac{a^{2}+b^{2}}{b}+2b\geq 2\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}=3\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq \frac{3(b+c)}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng với nhau theo vế ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 30-07-2020 - 10:27






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh