Chủ đề này có 2 trả lời

[hola0905]

Cho a,b,c >0 thoả abc=1 .Chứng minh
$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ac+c+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

[Ispectorgadget]

Bài này hình như trong topic BĐT THCS (2) có rồi thì phải.
Ta có: $$\frac{a}{(ab+a+1)^2}=\frac{a}{(ab+a+abc)^2}=\frac{1}{a(1+b+cd)^2}$$
VT trở thành
$$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ac+a+1)^2}=\frac{1}{a(1+b+cb)^2}+\frac{1}{b(1+c+ca)^2}+\frac{1}{c(1+a+ab)^2}(1)$$
Từ $abc=1$
$$VT=\frac{1}{a+1+ab}+\frac{1}{1+b+cb}+\frac{1}{1+c+ac}=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{a+ba+abc}+\frac{ab}{ab+abc+a.abc}$$
$$=\frac{1}{1+a+ba}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{ab+1+a}=\frac{1+a+ab}{1+a+ab}=1$$
Để ý rằng $\frac{1}{ab+1+a}=\frac{1}{\sqrt{c}(ab+a+1)}.\sqrt{c}$
Nên Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$P^2\le[\frac{1}{c(ab+a+1)^2}+\frac{1}{a(bc+b+c)^2}+\frac{1}{b(ac+a+1)^2}](c+a+b)$
$$\Rightarrow \frac{1}{c(ab+a+1)^2}+\frac{1}{a(bc+b+1)^2}+\frac{1}{b(ac+a+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}(2)$$
Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh $\blacksquare$

[KietLW9]

Với điều kiện abc = 1 thì ta dễ có $\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta được: $\sum_{cyc}\frac{a}{(ab+a+1)^2}=\sum_{cyc}\frac{(\frac{a}{ab+a+1})^2}{a}\geqslant \frac{(\sum \frac{a}{ab+a+1})^2}{a+b+c} =\frac{1}{a+b+c}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1