1 reply to this topic

[NguyenMinhTri]

Có 9 số tự nhiên. Đặt $A =$ tích của 9 số đó. Biết số ước nguyên tố phân biệt của A là 3. 

 

Chứng minh rằng trong 9 số có 2 số $x, y$ sao cho $xy$ là số chính phương.

 

Nhờ mọi người giúp đỡ ạ! Mình cảm ơn!

Edited by NguyenMinhTri, 03-04-2021 - 11:19.

[chanhquocnghiem]

Có 9 số tự nhiên. Đặt $A =$ tích của 9 số đó. Biết số ước nguyên tố phân biệt của A là 3. 

 

Chứng minh rằng trong 9 số có 2 số $x, y$ sao cho $xy$ là số chính phương.

 

Nhờ mọi người giúp đỡ ạ! Mình cảm ơn!

Gọi $9$ số tự nhiên đó là $A_1,A_2,A_3,...,A_9$.

$A=\prod_{i=1}^{9}A_i=p^{a}q^{b}r^{c}$ (với $p,q,r$ là các số nguyên tố phân biệt và $a,b,c$ là số nguyên dương)

Đặt $A_i=p^{a_i}q^{b_i}r^{c_i}$ (với $a_i,b_i,c_i$ là các số nguyên không âm)

Với mỗi số $A_i$, ta xét tính chẵn lẻ của bộ ba $(a_i,b_i,c_i)$.

Dễ thấy rằng có tất cả $2^3=8$ dạng : $(L,L,L);(L,L,C);...;(C,C,C)$

Vậy với $9$ số $A_i$, theo nguyên lý Dirichlet, chắc chắn có ít nhất $2$ số có cùng dạng (tức là có cùng tính chẵn lẻ của bộ ba $(a_i,b_i,c_i)$ $\Rightarrow$ tích của $2$ số này là số chính phương.