Chủ đề này có 2 trả lời

[dreamcatcher170201]

Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 17-05-2016 - 18:41

[HDTterence2k]

Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

$<=>\quad P=\sum { \frac { ab }{ c } +\sum { \frac { { a }^{ 2 } }{ b } +\sum { a\quad \quad .\quad Ta\quad có\quad \quad các\quad bổ\quad đề\quad sau:\quad \sum { \frac { ab }{ c } \ge \quad \sqrt { 3\sum { { a }^{ 2 } }  } (1)và\quad { (\sum { { a }^{ 2 }) }  }^{ 2 }\ge \quad 3({ a }^{ 3 }b+{ b }^{ 3 }c+{ c }^{ 3 }a)\quad (2)\quad  } \quad \quad  }  }  } \\ chứng\quad minh\quad bổ\quad đề\quad 1\quad :\quad \quad Bình\quad phương\quad (1)\quad <=>\quad \sum { { a }^{ 2 }(\frac { { b }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } +\frac { { c }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } )\ge \quad 2\sum { { a }^{ 2 } }  } (\quad điều\quad này\quad hiển\quad nhiên\quad theo\quad AM-GM\quad ,dấu\quad =\quad tại\quad a=b=c)\\ chứng\quad minh\quad bổ\quad đề\quad 2\quad :\quad (2)\quad <=>\quad { ({ a }^{ 2 }-2ab+bc-{ c }^{ 2 }+ac) }^{ 2 }+({ b^{ 2 }-2bc+ac+ab-{ c }^{ 2 }) }^{ 2 }+{ { ({ c }^{ 2 }-2ac+ab-{ b }^{ 2 }+bc }) }^{ 2 }\ge \quad 0\quad (\quad dấu\quad =\quad tại\quad a=b=c)\\ quay\quad trở\quad lại\quad với\quad bài\quad toán\quad :\quad Áp\quad dụng\quad AM-Gm\quad \frac { { a }^{ 2 } }{ b } +a+{ a }^{ 3 }b\ge 3{ a }^{ 2 }.\quad Tương\quad tự\quad ta\quad có\quad \sum { \frac { { a }^{ 2 } }{ b } +\sum { a } \ge \quad 3\sum { { a }^{ 2 }-\sum { { a }^{ 3 }b }  }  } \quad \\ theo\quad bổ\quad đề\quad (2)\quad \sum { { a }^{ 3 }b\le \frac { { (\sum { { a }^{ 2 }) }  }^{ 2 } }{ 3 } =3\quad (\quad do\quad \sum { { a }^{ 2 }=3)\quad  } \quad  } .\quad Từ\quad đó\quad P\ge \sqrt { 3\sum { { a }^{ 2 } }  } +3\sum { { a }^{ 2 }-3\quad =9\quad  } \\ Dấu\quad =\quad xảy\quad ra\quad tại\quad a=b=c=1\quad .\Box $

[KietLW9]

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học