Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 29-03-2013 - 17:21
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$
Bắt đầu bởi Hong Lien, 29-03-2013 - 15:56
#2
Đã gửi 29-03-2013 - 18:17
Sagittarius912
-
- Thành viên
-
- 776 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$
Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$\frac{b^2}{b^2}+\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\ge \frac{[(a+b)+(b+c)]^2}{b^2+ab+bc+ca}$
hay
$1+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{(a+b)^2+(b+c)^2+2(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)}$
$\Leftrightarrow 1+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+2$
$\Rightarrow$ dpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
- Mai Xuan Son yêu thích
#3
Đã gửi 30-03-2021 - 18:55
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
- alexander123 và truonganh2812 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
