Chủ đề này có 1 trả lời

[Thanhlongviemtuoc]

Cho $x,y\geq 1$ t/m $x+y+3=xy$

tìm max và min( nếu có) của : $P=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 21-08-2019 - 16:55

[Sin99]

Chia xy 2 vế của giả thiết $ ta có \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 3\frac{1}{xy}  = 1 $. 

Đặt $ \frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b  \Rightarrow a+b+3ab = 1 $ suy ra $ a + b \geq \frac{2}{3} $. 

Đặt $ a+b = t $

P = $  \sum \sqrt{1-\frac{1}{x^2} } + \frac{1}{x+y} \leq \sum \sqrt{ 1 - a^2} + \frac{1}{4}( a+b) \leq \sqrt{2( 2 - a^2-b^2)} + \frac{1}{4}t \leq \sqrt{4-t^2} + \frac{t}{4} $

Ta sẽ cm $ P \leq \frac{ 1+8 \sqrt{2} }{6} $ hay $  \sqrt{4-t^2} + \frac{t}{4} \leq \frac{ 1+8 \sqrt{2} }{6} $ với $ t \geq \frac{2}{3} $ 

Biến đổi tương đương ta dc BĐT đúng. 

Vậy Max P = $  \frac{ 1+8 \sqrt{2} }{6} $ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 21-08-2019 - 20:13