Cho $x,y\geq 1$ t/m $x+y+3=xy$
tìm max và min( nếu có) của : $P=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 21-08-2019 - 16:55
Đã gửi 21-08-2019 - 16:45
Cho $x,y\geq 1$ t/m $x+y+3=xy$
tìm max và min( nếu có) của : $P=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 21-08-2019 - 16:55
Đã gửi 21-08-2019 - 20:11
Chia xy 2 vế của giả thiết $ ta có \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 3\frac{1}{xy} = 1 $.
Đặt $ \frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b \Rightarrow a+b+3ab = 1 $ suy ra $ a + b \geq \frac{2}{3} $.
Đặt $ a+b = t $
P = $ \sum \sqrt{1-\frac{1}{x^2} } + \frac{1}{x+y} \leq \sum \sqrt{ 1 - a^2} + \frac{1}{4}( a+b) \leq \sqrt{2( 2 - a^2-b^2)} + \frac{1}{4}t \leq \sqrt{4-t^2} + \frac{t}{4} $
Ta sẽ cm $ P \leq \frac{ 1+8 \sqrt{2} }{6} $ hay $ \sqrt{4-t^2} + \frac{t}{4} \leq \frac{ 1+8 \sqrt{2} }{6} $ với $ t \geq \frac{2}{3} $
Biến đổi tương đương ta dc BĐT đúng.
Vậy Max P = $ \frac{ 1+8 \sqrt{2} }{6} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 21-08-2019 - 20:13
๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $x,y,z>0;x^3+y^3+z^3=3$. Tìm Min, Max $T=\sum\frac{xy}{z}$.Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 08-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $x,y,z\geq 0;x^2+y^2+z^2=3$. Tìm Max $P=6(y+z-x)+27xyz$Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 04-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}\geq 3\sqrt{3}(x+2)$.Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 30-12-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Tìm vị trí của A sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhấtBắt đầu bởi ThIsMe, 14-12-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh $\sum\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq 1$Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 07-12-2020 ![]() |
|
![]() |
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh