Mình sẽ bổ sung cho MARATHON một bài cũng khá giống giống bài này nhưng mạnh hơn, mình cũng từng làm rồi.
$\boxed{14}$Cho tam giác ABC với độ dài ba cạnh $a, b,c$ có diện tích S. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt{3}S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
Còn về phần bài $\boxed{13}$ thì mình đưa trước 6 cách, mình sẽ nghĩ và cố gắng tìm thêm.
bài 14 là bđt Hadwinger-Finsler, bđt này là mở rộng của bđt trong đề thi IMO 1961 (cũng là bài 13)
Sau đây mình xin giải bài 14 như sau: BĐT trên tương đương
$2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)\geq 4\sqrt{3}\\ \Leftrightarrow 4S(\frac{1}{sinC}+\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sin B})-4S(cotA+cotB+cotC)\geq 4\sqrt{3}S\\ \Leftrightarrow \frac{1-cosA}{sinA}+\frac{1-cosB}{sinB}+\frac{1-cosC}{sinC}\geq \sqrt{3}\\ \Leftrightarrow tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}\geq \sqrt{3}\\$
Sử dụng đẳng thức $tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1$ kết hợp với BĐT $x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+xz)}$, ta được
$tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}\geq \sqrt{3\sum tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}=\sqrt{3}$.
Đó là đpcm.