Chủ đề này có 1 trả lời

[truonganh2812]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{3a-b}{a^2+ab}+\frac{3b-c}{b^2+bc}+\frac{3c-a}{c^2+ca}\leqslant \frac{9}{a+b+c}$

[KietLW9]

Ta viết lại bất đẳng thức: $(a+b+c)(\frac{3a-b}{a^2+ab}+\frac{3b-c}{b^2+bc}+\frac{3c-a}{c^2+ca})\leqslant 9$ 

a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta luôn có a + b + c = k (k > 0)

Đặt a = kx, b = ky, c = kz thì x + y + z = 1 (x, y, z > 0)

Khi đó: $(a+b+c)(\frac{3a-b}{a^2+ab}+\frac{3b-c}{b^2+bc}+\frac{3c-a}{c^2+ca})=k(\frac{k(3x-y)}{k^2(x^2+xy)}+\frac{k(3y-z)}{k^2(y^2+yz)}+\frac{k(3z-x)}{k^2(z^2+zx)})=\frac{3x-y}{x^2+xy}+\frac{3y-z}{y^2+yz}+\frac{3z-x}{z^2+zx}=\frac{4}{x+y}-\frac{1}{x}+\frac{4}{y+z}-\frac{1}{y}+\frac{4}{z+x}-\frac{1}{z}=\frac{4}{1-z}-\frac{1}{z}+\frac{4}{1-x}-\frac{1}{x}+\frac{4}{1-y}-\frac{1}{y}=\frac{5x-1}{x-x^2}+\frac{5y-1}{y-y^2}+\frac{5z-1}{z-z^2}$

Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên b + c > a hay y + z > x $\Rightarrow 2x<x+y+z=1\Rightarrow x<\frac{1}{2}$

Tương tự: $0<y,z<\frac{1}{2}$

Xét bất đẳng thức phụ: $\frac{5x-1}{x-x^2}\leqslant 18x-3\Leftrightarrow \frac{(2x-1)(3x-1)^2}{x(x-1)}\geqslant  0$*đúng*

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{5x-1}{x-x^2}+\frac{5y-1}{y-y^2}+\frac{5z-1}{z-z^2}\leqslant 18(x+y+z)-9=9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ hay a = b = c