Đến nội dung


Chú ý

Nếu bạn gặp lỗi trong quá trinh đăng ký thành viên, hoặc đã đăng ký thành công nhưng không nhận được email kích hoạt, hãy thực hiện những bước sau:

  • Đăng nhập với tên và mật khẩu bạn đã dùng kể đăng ký. Dù bị lỗi nhưng hệ thống đã lưu thông tin của bạn vào cơ sở dữ liệu, nên có thể đăng nhập được.
  • Sau khi đăng nhập, phía góc trên bên phải màn hình sẽ có nút "Gửi lại mã kích hoạt", bạn nhấn vào nút đó để yêu cầu gửi mã kích hoạt mới qua email.
Nếu bạn đã quên mật khẩu thì lúc đăng nhập hãy nhấn vào nút "Tôi đã quên mật khẩu" để hệ thống gửi mật khẩu mới cho bạn, sau đó làm theo hai bước trên để kích hoạt tài khoản. Lưu ý sau khi đăng nhập được bạn nên thay mật khẩu mới.

Nếu vẫn không đăng nhập được, hoặc gặp lỗi "Không có yêu cầu xác nhận đang chờ giải quyết cho thành viên đó", bạn hãy gửi email đến [email protected] để được hỗ trợ.
---
Do sự cố ngoài ý muốn, tất cả bài viết và thành viên đăng kí sau ngày 08/08/2019 đều không thể được khôi phục. Những thành viên nào tham gia diễn đàn sau ngày này xin vui lòng đăng kí lại tài khoản. Ban Quản Trị rất mong các bạn thông cảm. Mọi câu hỏi hay thắc mắc các bạn có thể đăng vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để được hỗ trợ. Ngoài ra nếu các bạn thấy diễn đàn bị lỗi thì xin hãy thông báo cho BQT trong chủ đề Báo lỗi diễn đàn. Cảm ơn các bạn.

Ban Quản Trị.


Hình ảnh

[TOPIC] BẤT ĐẲNG THỨC

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 47 trả lời

#41 KietLW9

KietLW9

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 443 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức), Bayern Munich, Lewandowski

Đã gửi 19-04-2021 - 11:41

Bài 48: Cho $a,b,c$ thỏa mãn $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leqslant 10$

Vì $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$ nên $\frac{a}{b}\leqslant 1,\frac{b}{c}\leqslant 1,\frac{c}{b}\geqslant 1,\frac{b}{a}\geqslant 1\Rightarrow (\frac{a}{b}-1)(\frac{b}{c}-1)+(\frac{c}{b}-1)(\frac{b}{a}-1)\geqslant 0\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\leqslant \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2$

Cũng do $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$ nên $\frac{a}{c}\geqslant \frac{1}{2},\frac{a}{c}<2\Rightarrow (2-\frac{a}{c})(\frac{1}{2}-\frac{a}{c})\leqslant 0\Rightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leqslant \frac{5}{2}$

Như vậy: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\leqslant 5+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leqslant 10(Q.E.D)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 19-04-2021 - 11:49


#42 KietLW9

KietLW9

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 443 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức), Bayern Munich, Lewandowski

Đã gửi 19-04-2021 - 11:56

Không biết có trùng hợp hay không nhưng bài này cũng đồng thời xuất hiện trong bài $\boxed{15}$ ở MARATHON Bất đẳng thức của anh Long

Mình xin nêu tiếp cho Topic bài 51 do mình tự sáng tác (tất nhiên là mình sẽ giải sau 2 ngày, mong là không có gì sai sót :D )

$\boxed{51}$Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn $abcd\leqslant 1$. Chứng minh rằng: $(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})\geqslant 3a\sqrt[3]{a}+3b\sqrt[3]{b}+3c\sqrt[3]{c}+3d\sqrt[3]{d}+4$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})=a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{d}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+d(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+4\geqslant \frac{3a}{\sqrt[3]{bcd}}+\frac{3b}{\sqrt[3]{cda}}+\frac{3c}{\sqrt[3]{dab}}+\frac{3d}{\sqrt[3]{abc}}+4=\frac{3a\sqrt[3]{a}+3b\sqrt[3]{b}+3c\sqrt[3]{c}+3d\sqrt[3]{d}}{\sqrt[3]{abcd}}+4\geqslant 3a\sqrt[3]{a}+3b\sqrt[3]{b}+3c\sqrt[3]{c}+3d\sqrt[3]{d}+4(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$



#43 KietLW9

KietLW9

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 443 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức), Bayern Munich, Lewandowski

Đã gửi 19-04-2021 - 18:36

$\boxed{52}$Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $3\leqslant x+y+z\leqslant 6$. Chứng minh rằng: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}+\sqrt{1+z}\geqslant \sqrt{xy+yz+zx+15}$



#44 KietLW9

KietLW9

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 443 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức), Bayern Munich, Lewandowski

Đã gửi 19-04-2021 - 19:15

Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab})\leqslant \frac{9}{4}$ 

Chưa ai giải bài này và có một bạn hỏi nên mình xin gửi sol. Bài này mình nhớ là trong đề Archimedes Lớp 8 năm 2019. :D

Ta có: $\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}=\frac{a}{a^2+abc}+\frac{b}{b^2+abc}+\frac{c}{c^2+abc}=\frac{a}{a^2+ab+bc+ca}+\frac{b}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ab+bc+ca}$

$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab})=\frac{a^2+ab+ac}{a^2+ab+bc+ca}+\frac{b^2+bc+ba}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{c^2+ca+cb}{c^2+ab+bc+ca}=(1-\frac{bc}{(a+b)(a+c)})+(1-\frac{ca}{(b+c)(b+a)})+(1-\frac{ab}{(c+a)(c+b)})$

Như vậy, ta cần chứng minh: $\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)})+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\geqslant \frac{3}{4}(*)$ 

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$

Bất đẳng thức $(*)$ trở thành: $\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\geqslant \frac{3}{4}$

Áp dụng Cauchy: $\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{9}{16}(x+y)(x+z)\geqslant \frac{3}{2}x$

Tương tự ta có: $\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{9}{16}(y+z)(y+x)\geqslant \frac{3}{2}y$; $\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}+\frac{9}{16}(z+x)(z+y)\geqslant \frac{3}{2}z$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\geqslant\frac{3}{2}(x+y+z)-\frac{9}{16}[(x+y+z)^2+xy+yz+zx]\geqslant\frac{3}{2}(x+y+z)-\frac{9}{16}[(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}]=\frac{3}{4}(Q.E.D)$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ hay $a=b=c=3$



#45 KietLW9

KietLW9

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 443 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức), Bayern Munich, Lewandowski

Đã gửi 20-04-2021 - 05:42

Bài toán cho học sinh lớp 8

$\boxed{53}$Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $|x+y+z|\leqslant 1,|x-y+z|\leqslant 1,|z|\leqslant 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $M=\frac{8}{3}x^2+y^2$



#46 KietLW9

KietLW9

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 443 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức), Bayern Munich, Lewandowski

Đã gửi 20-04-2021 - 12:13

Bài 5:  Với a, b, c không âm. CMR: $25(a^2+b^2+c^2)+54abc+36\geqslant 6(a+b+c)+49(ab+bc+ca)$  

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số $a-1,b-1,c-1$ tồn tại ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử là $b-1$ và $c-1$ thì $a(b-1)(c-1)\geqslant 0\Rightarrow abc\geqslant ab+ac-a$

Xét $25(a^2+b^2+c^2)+54abc+36- 6(a+b+c)-49(ab+bc+ca)\geqslant 25(a^2+b^2+c^2)+54(ab+ac-a)+36- 6(a+b+c)-49(ab+bc+ca)=25(a^2+b^2+c^2)+5a(b+c)-49bc+36-60a-6(b+c)\geqslant 25a^2+\frac{25}{2}(b+c)^2+5a(b+c)-\frac{49}{4}(b+c)^2+36-60a-6(b+c)=(5a+\frac{b+c}{2})^2-2.6(5a+\frac{b+c}{2})+36=(5a+\frac{b+c}{2}-6)^2\geqslant 0$

Vậy $25(a^2+b^2+c^2)+54abc+36\geqslant 6(a+b+c)+49(ab+bc+ca)(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=0;b=c=6$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 20-04-2021 - 12:15


#47 PDF

PDF

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi Hôm qua, 09:50

$\boxed{52}$Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $3\leqslant x+y+z\leqslant 6$. Chứng minh rằng: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}+\sqrt{1+z}\geqslant \sqrt{xy+yz+zx+15}$

Phản ví dụ: $x=3,y=z=1$.

Edited: Nhầm :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: Hôm qua, 09:53


#48 KietLW9

KietLW9

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 443 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức), Bayern Munich, Lewandowski

Đã gửi Hôm qua, 18:54

Bài toán cho học sinh lớp 8

$\boxed{53}$Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $|x+y+z|\leqslant 1,|x-y+z|\leqslant 1,|z|\leqslant 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $M=\frac{8}{3}x^2+y^2$

Chém câu tép riêu này trước, còn câu $\boxed{52}$ để sau.

Từ giả thiết, ta có: $-1\leqslant x+y+z\leqslant 1;-1\leqslant x-y+z\leqslant 1;-1\leqslant z\leqslant 1$

Trừ hai vế của hai bất đẳng thức ngược chiều là $-1\leqslant x+y+z\leqslant 1$ và $-1\leqslant z\leqslant 1$, ta được: $-2\leqslant x+y\leqslant 2\Rightarrow (x+y)^2\leqslant 4$

Tương tự: $(x-y)^2\leqslant 4$

$\Rightarrow (x+y)^2+(x-y)^2\leqslant 8\Leftrightarrow x^2+y^2\leqslant 4$

Từ đó: $M=\frac{8}{3}(x^2+y^2)-\frac{5}{3}y^2\leqslant \frac{8}{3}(x^2+y^2)\leqslant \frac{32}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn $x=2;y=0;z=-1$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh