Chủ đề này có 1 trả lời

[thuankokoko]

cho a,b,c là các số dương thõa mãn 

$a^2+b^2+c^2=3$

chứng minh :

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\leq \sqrt{3}$

 

[KietLW9]

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta được: $\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}\geqslant a+b+c\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leqslant \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$ 

Tương tự rồi cộng lại, ta có: $VT\leqslant \sum_{cyc}\frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}= \sum_{cyc}\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}\sqrt{3.(1+b+c)}}{a+b+c}\leqslant \sum_{cyc}\frac{a(4+b+c)}{2\sqrt{3}(a+b+c)}=\frac{4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}{2\sqrt{3}(a+b+c)}\leqslant\frac{4(a+b+c)+2.\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2\sqrt{3}(a+b+c)}=\frac{4+\frac{2}{3}(a+b+c)}{2\sqrt{3}}\leqslant \frac{4+\frac{2}{3}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ (Cô-si)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1