Chủ đề này có 2 trả lời

[12DecMath]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt AC tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt AB tại F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DE,DF. Chứng minh OI$\perp$AD khi và chỉ khi AD,BN,CM đồng quy. (Đã sửa)

   

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 10-04-2021 - 01:16

[d Alembert]

M,N là gì của DE,DF nhỉ bạn, trung điểm à

P/s: Bạn đính kèm hình luôn nhé, cho mng tiện xem :>

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi d Alembert: 09-04-2021 - 23:51

[Dark Repulsor]

Chiều thuận:

Gọi tiếp điểm của đường tròn ($I$) trên $AC$, $AB$ lần lượt là $P,Q$. $AD$ cắt đường tròn ($I$) tại điểm thứ $2$ và $PQ$ lần lượt tại $L$ và $J$

Ta có tính chất cơ bản: $LPDQ$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow BC$, tiếp tuyến tại $L$ của đường tròn ($I$) và $PQ$ đồng quy tại $1$ điểm $S \Rightarrow SI\perp AD$. Mà $OI\perp AD \Rightarrow \overline{S,I,O}$

$SI$ cắt $AD$ tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm của $BC \Rightarrow OK\perp BC$. Ta có $4$ điểm $H,O,D,K$ đồng viên $\Rightarrow \overline{SH}.\overline{SO}=\overline{SD}.\overline{SK}$          ($1$)

Mặt khác ta có: ($SJ,QP$) $=-1$. Chiếu xuyên tâm $A$ ta thu được ($SD,BC$) $=-1 \Rightarrow \overline{SB}.\overline{SC}=\overline{SD}.\overline{SK}$ (hệ thức Maclaurin)          ($2$)

Từ ($1$) và ($2$) suy ra $\overline{SH}.\overline{SO}=\overline{SB}.\overline{SC} \Rightarrow 4$ điểm $H,O,B,C$ đồng viên

Xét trục đẳng phương của $3$ đường tròn $\left(O;\frac{OA}{2}\right)$, ($BHOC$), ($O$) lần lượt là $OH$, $BC$ và tiếp tuyến tại $A$ của ($O$) đồng quy tại $1$ điểm $\Rightarrow SA$ là tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ($O$)

Mà ($SD,BC$) $=-1 \Rightarrow AD$ là đường đối trung của $\Delta ABC$

$4$ điểm $A,C,D,F$ đồng viên và $BM$ là đường trung tuyến của $\Delta BDF \Rightarrow BM$ là đường đối trung của $\Delta ABC$

Tương tự ta có $CN$ là đường đối trung của $\Delta ABC$

Do đó $AD$, $BM$, $CN$ đồng quy tại điểm Lemoine của $\Delta ABC$

Chiều ngược làm ngược lại là xong

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 03-07-2021 - 23:26