cho x và y là 2 số thực thoả mãn $(x^2 +y^2-1)^2+x^2-5y^2+11=0$ . Tìm max $x^2+y^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-04-2021 - 14:57
cho x và y là 2 số thực thoả mãn $(x^2 +y^2-1)^2+x^2-5y^2+11=0$ . Tìm max $x^2+y^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-04-2021 - 14:57
Đặt $m=x^{2}$, $n=y^{2}-4$ ($m\geq 0$, $n\geq -4$). Thay vào gt:
$(m+n+3)^{2}+m-5(n+4)+11=0 \Leftrightarrow (m+n)^{2}+6(m+n)+m-5n=0 \Leftrightarrow (m+n)^{2}+m+n=-6m \Leftrightarrow (m+n)(m+n+1)=-6m$
$m\geq 0 \Rightarrow (m+n)(m+n+1)\leq 0 \Rightarrow -1\leq m+n\leq 0$
$P=x^{2}+y^{2}=m+n+4 \Rightarrow 3\leq P\leq 4$
Kết luận:
Min $P=3$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=0 \\ m+n=-1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=\pm \sqrt{3} \end{matrix}\right.$
Max $P=4$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=0 \\ m+n=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=\pm 2 \end{matrix}\right.$
P/s: Ta có thể chứng minh ĐTHS $f(x,y)=(x^{2}+y^{2}-1)^{2}+x^{2}-5y^{2}+11=0$ là $2$ đường elip đối xứng nhau qua gốc tọa độ (do với mỗi giá trị $x$ sẽ có $2$ giá trị $y$ thỏa mãn và ngược lại). Elip nằm phía trên trục $Ox$ có tâm $I_{1}\left(0;\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$, bán trục lớn $a=\frac{\sqrt{-5-4\sqrt{3}+2\sqrt{-5+24\sqrt{3}}}}{2}$, bán trục bé $b=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$, bán tiêu cự $c=\sqrt{-3+\frac{\sqrt{-5+24\sqrt{3}}}{2}}$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P= 2(b+c-a) + 9abc$ biết $a^2+b^2+c^2=1$Bắt đầu bởi Pray for The First, 25-08-2022 max |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với trục Ox, OyBắt đầu bởi Rhythme, 05-01-2019 hàm số, sự tương giao, lớp10 và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức CauchyBắt đầu bởi Tantran2510, 05-11-2018 gtln, max |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$Bắt đầu bởi Khoa Linh, 06-06-2018 max, min |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$Bắt đầu bởi pmt22042003, 03-06-2018 bđt, max, min |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh