Chủ đề này có 2 trả lời

[LoveMath1234]

Cho a,b,c không âm: $a+b+c=1$

Tìm Max: $P=a^3+b^3+c^3-a^4-b^4-c^4$

[meomunsociu]

Cho a,b,c không âm: $a+b+c=1$

Tìm Max: $P=a^3+b^3+c^3-a^4-b^4-c^4$

Giải:

Ta có:

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)+3abc$

$a^4+b^4+c^4=(\sum a^2)^2-2(\sum a^2b^2)=(\sum a^2)^2-2((ab+bc+ca)^2-2abc)$

$\Rightarrow P=(\sum a^2)-(\sum a^2)^2-(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)^2-abc$

Đặt $t=ab+bc+ca$

Do $abc\geq 0$ nên $P\leq (1-2t)-(1-2t)^2-t+2t^2$

$\rightarrow P\leq -2t^2+t=-2(t-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{8}\leq \frac{1}{8}$

Dấu $"="$ xảy ra tại $\left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=c=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị.

[KietLW9]

Vì a + b + c = 1 nên ta có: $\frac{1}{8}=\frac{(a+b+c)^4}{8}=\frac{(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca))^2}{8}\geqslant \frac{4.(a^2+b^2+c^2).2(ab+bc+ca)}{8}=(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3+abc(a+b+c)\geqslant a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3=a^3(1-a) + b^3(1-b)+c^3(1-c)=a^3+b^3+c^3-a^4-b^4-c^4$

Vậy $MaxP=\frac{1}{8}$, đạt được khi trong 3 số a, b, c có 1 số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$