Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng a^2/(2a^2+bc)+b^2/(2b^2+ca)+c^2/(2c^2+ab)≤1


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Thanh Long Nguyen

Thanh Long Nguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng a^2/(2a^2+bc)+b^2/(2b^2+ca)+c^2/(2c^2+ab)≤1

#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}+\frac{1}{2+\frac{ca}{b^2}}+\frac{1}{2+\frac{ab}{c^2}}\leqslant 1$

Đặt $(\frac{bc}{a^2},\frac{ca}{b^2},\frac{ab}{c^2})\rightarrow (x,y,z)$ thì xyz = 1 và ta cần chỉ ra rằng: $\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}\leqslant 1\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx-4\geqslant 0\Leftrightarrow xy+yz+zx\geqslant 3$*đúng theo bất đẳng thức Cauchy*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh