Chủ đề này có 1 trả lời

[Lecaotri99]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ( AB < AC). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và OA vuông góc EF

b) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh FC là tia phân giác của góc DFE và tứ giác EFDN nội tiếp

c) Đường thẳng vuông góc AB tại A cắt BE tại I. Qua A vẽ đường thẳng song song BC cắt EF tại M. MI cắt AH tại T. Chứng minh rằng T là trung điểm của AH. 

 

[SpiritCreator]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ( AB < AC). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và OA vuông góc EF

b) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh FC là tia phân giác của góc DFE và tứ giác EFDN nội tiếp

c) Đường thẳng vuông góc AB tại A cắt BE tại I. Qua A vẽ đường thẳng song song BC cắt EF tại M. MI cắt AH tại T. Chứng minh rằng T là trung điểm của AH. 

Gọi $G=EF\cap BC; K=TI\cap BC; M'=TI\cap AM$ (với $T$ là trung điểm $AH$). Ta chứng minh: $M'\equiv M\Leftrightarrow \overline{M';E;F}$.

Ta có:$\Delta IAH\sim \Delta ABC (g-g)\Rightarrow AN\bot IT$.

$\Rightarrow T$ là trực tâm $\Delta NAK\Rightarrow NT\bot AK$.

Mà theo tính chất quen thuộc ta có: $AONT$ là hình bình hành.

$\Rightarrow AO\bot AK\Rightarrow AK//EF$ và $KA$ là tiếp tuyến của $(O)$.

$\Rightarrow \Delta KAI\sim \Delta GFH\Rightarrow KI//GH$.

$\Rightarrow DH.DK=DG.DT\Rightarrow AT.DK=DT.(DK-DG)=DT.KG$

$\Rightarrow KG=AM'\Rightarrow AKGM'$ là hình bình hành.

$\Rightarrow \overline{M';E;F}$

$\Rightarrow dpcm$.