Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
Bắt đầu bởi KietLW9, 16-04-2021 - 15:40
bất đẳng thức và cực tri
#1
Đã gửi 16-04-2021 - 15:40
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#2
Đã gửi 16-04-2021 - 17:57
tthnew
-
- Điều hành viên THCS
-
- 67 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
Lâu nay bận ôn chuyên không giải bất được, hôm nay giải một bài tránh quên nghề.
$\textbf{Bổ đề.}$ Cho $x,y,z>0; x+y+z=1;xy+yz+zx=\dfrac{1-t^2}{3} \, (0\le t \le 1).$ Khi đó:
$$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge \dfrac{1+2t+5t^2+4t^3-3t^4}{(2t+1)\left(1-t^2\right)}$$
Cách chứng minh của mình gần như giống hệt anh Huyện nên xin phép trích lại chứng minh của anh ấy cho đỡ mất thời gian.
Trở lại bài toán, sử dụng bổ đề trên ta chỉ cần chứng minh ${\frac {3{t}^{2}}{1+2\,t}}\ge 0.$ Đây là điều hiển nhiên.
Ps: Mình đang rất bận nên không thể đưa ra lời giải tự nhiên hơn. Các bạn hoàn toàn có thể giải quyết bài này bằng phương pháp pqr.
#3
Đã gửi 16-04-2021 - 17:59
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Lâu nay bận ôn chuyên không giải bất được, hôm nay giải một bài tránh quên nghề.
$\textbf{Bổ đề.}$ Cho $x,y,z>0; x+y+z=1;xy+yz+zx=\dfrac{1-t^2}{3} \, (0\le t \le 1).$ Khi đó:
$$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge \dfrac{1+2t+5t^2+4t^3-3t^4}{(2t+1)\left(1-t^2\right)}$$
Cách chứng minh của mình gần như giống hệt anh Huyện nên xin phép trích lại chứng minh của anh ấy cho đỡ mất thời gian.
Trở lại bài toán, sử dụng bổ đề trên ta chỉ cần chứng minh ${\frac {3{t}^{2}}{1+2\,t}}\ge 0.$ Đây là điều hiển nhiên.
Ps: Mình đang rất bận nên không thể đưa ra lời giải tự nhiên hơn. Các bạn hoàn toàn có thể giải quyết bài này bằng phương pháp pqr.
Nếu không phiền thì bạn có thể giải bằng cách lớp 8 không, bài này từ một bài post trên mạng 
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#4
Đã gửi 16-04-2021 - 18:02
ChiMiwhh
-
- Thành viên
-
- 126 Bài viết
Trung sĩ
Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
Có thể qui đồng r amgm
#5
Đã gửi 16-04-2021 - 18:13
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Có thể qui đồng r amgm
Bạn có thể làm cụ thể được không 
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
min,maxM=$\frac{x^{2}-8x+25}{x^{2}-6x+25}$Bắt đầu bởi thuyyyy, 26-12-2022  bất đẳng thức và cực tri
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho $a+ b >1$ . CM $a^4 +b^4> \frac{1}{8}$Bắt đầu bởi Anna lee, 18-08-2022 bất đẳng thức và cực tri
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$Bắt đầu bởi Anna lee, 18-08-2022 bất đẳng thức và cực tri
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN, GTLN của PBắt đầu bởi chcd, 03-03-2022 bất đẳng thức và cực tri
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$Bắt đầu bởi KietLW9, 28-06-2021 bất đẳng thức và cực tri
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
