Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
#1
Posted 16-04-2021 - 15:40
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#2
Posted 16-04-2021 - 17:57
Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
Lâu nay bận ôn chuyên không giải bất được, hôm nay giải một bài tránh quên nghề.
$\textbf{Bổ đề.}$ Cho $x,y,z>0; x+y+z=1;xy+yz+zx=\dfrac{1-t^2}{3} \, (0\le t \le 1).$ Khi đó:
$$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge \dfrac{1+2t+5t^2+4t^3-3t^4}{(2t+1)\left(1-t^2\right)}$$
Cách chứng minh của mình gần như giống hệt anh Huyện nên xin phép trích lại chứng minh của anh ấy cho đỡ mất thời gian.
Trở lại bài toán, sử dụng bổ đề trên ta chỉ cần chứng minh ${\frac {3{t}^{2}}{1+2\,t}}\ge 0.$ Đây là điều hiển nhiên.
Ps: Mình đang rất bận nên không thể đưa ra lời giải tự nhiên hơn. Các bạn hoàn toàn có thể giải quyết bài này bằng phương pháp pqr.
#3
Posted 16-04-2021 - 17:59
Lâu nay bận ôn chuyên không giải bất được, hôm nay giải một bài tránh quên nghề.
$\textbf{Bổ đề.}$ Cho $x,y,z>0; x+y+z=1;xy+yz+zx=\dfrac{1-t^2}{3} \, (0\le t \le 1).$ Khi đó:
$$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge \dfrac{1+2t+5t^2+4t^3-3t^4}{(2t+1)\left(1-t^2\right)}$$
Cách chứng minh của mình gần như giống hệt anh Huyện nên xin phép trích lại chứng minh của anh ấy cho đỡ mất thời gian.
Trở lại bài toán, sử dụng bổ đề trên ta chỉ cần chứng minh ${\frac {3{t}^{2}}{1+2\,t}}\ge 0.$ Đây là điều hiển nhiên.
Ps: Mình đang rất bận nên không thể đưa ra lời giải tự nhiên hơn. Các bạn hoàn toàn có thể giải quyết bài này bằng phương pháp pqr.
Nếu không phiền thì bạn có thể giải bằng cách lớp 8 không, bài này từ một bài post trên mạng
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#4
Posted 16-04-2021 - 18:02
Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
Có thể qui đồng r amgm
#5
Posted 16-04-2021 - 18:13
Có thể qui đồng r amgm
Bạn có thể làm cụ thể được không
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Also tagged with one or more of these keywords: bất đẳng thức và cực tri
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
min,maxM=$\frac{x^{2}-8x+25}{x^{2}-6x+25}$Started by thuyyyy, 26-12-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho $a+ b >1$ . CM $a^4 +b^4> \frac{1}{8}$Started by Anna lee, 18-08-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$Started by Anna lee, 18-08-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN, GTLN của PStarted by chcd, 03-03-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$Started by KietLW9, 28-06-2021 bất đẳng thức và cực tri |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users