Chủ đề này có 1 trả lời

[DBS]

Cho $a,b>0$ thoả mãn $ab=1$.

Tìm GTNN của $A=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}$.

[Nguyen Van Hoang noob]

Cho $a,b>0$ thoả mãn $ab=1$.

Tìm GTNN của $A=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}$.

 

Mình xin phép trình bày lời giải bài toán này ạ:

 

Đặt $a+b=x$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có:

$a,b \geq 0 \Rightarrow x= a+b\geq2\sqrt{ab}=2$ 

$a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{x^2}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có:

$A=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}=\frac{a^4}{a+ab}+\frac{b^4}{b+ab} \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b+2ab} \geq \frac{(\frac{x^2}{2})^2}{x+2}=\frac{1}{4}.\frac{x^4}{x+2}$

Ta sẽ đi chứng minh : $\frac{x^4}{x+2} \geq 4$

Thật vậy, (*) tương đương với:

$x^4\geq4(x+2)\Leftrightarrow x^4-4x-8 \geq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x^3+2x^2+4x+4) \geq 0$ (luôn đúng với mọi $x\geq 2$) 

Suy ra $A\geq \frac{1}{4}.4= 1$

Dẫu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$