Cho $a,b>0$ thoả mãn $ab=1$.
Tìm GTNN của $A=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}$.
Cho $a,b>0$ thoả mãn $ab=1$.
Tìm GTNN của $A=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}$.
Cho $a,b>0$ thoả mãn $ab=1$.
Tìm GTNN của $A=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}$.
Mình xin phép trình bày lời giải bài toán này ạ:
Đặt $a+b=x$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có:
$a,b \geq 0 \Rightarrow x= a+b\geq2\sqrt{ab}=2$
$a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{x^2}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có:
$A=\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}=\frac{a^4}{a+ab}+\frac{b^4}{b+ab} \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b+2ab} \geq \frac{(\frac{x^2}{2})^2}{x+2}=\frac{1}{4}.\frac{x^4}{x+2}$
Ta sẽ đi chứng minh : $\frac{x^4}{x+2} \geq 4$
Thật vậy, (*) tương đương với:
$x^4\geq4(x+2)\Leftrightarrow x^4-4x-8 \geq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x^3+2x^2+4x+4) \geq 0$ (luôn đúng với mọi $x\geq 2$)
Suy ra $A\geq \frac{1}{4}.4= 1$
Dẫu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh