Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh hệ thức Leibniz $\alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma MC^2 = (\alpha+\beta+\gamma)MP^2+\alpha PA^2+\beta PB^2+\gamma PC^2$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Em đọc trong sách thấy hệ thức này mà không hiểu, nhờ mọi người chứng minh giúp ạ:

Cho tam giác ABC và điểm P bất kì thỏa mãn: $\alpha\overrightarrow{PA}+\beta\overrightarrow{PB}+\gamma\overrightarrow{PC}=0$.

Chứng minh rằng với mọi M thì $\alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma MC^2 = (\alpha+\beta+\gamma)MP^2+\alpha PA^2+\beta PB^2+\gamma PC^2$.

 



#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Chỉ là bình phương và khai triển thôi. Dưới đây là chứng minh tổng quát cho n-giác $A_1A_2...A_n$ với hệ số $a_1,a_2,...,a_n$.

\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}MA_i^2}  = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{{\left( {\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {P{A_i}} } \right)}^2}} \\
 = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}\left( {M{P^2} + PA_i^2 + 2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {P{A_i}} } \right)} \\
 = \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)M{P^2} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}PA_i^2}  + 2\overrightarrow {MP} \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}\overrightarrow {P{A_i}} } } \right)\\
 = \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)M{P^2} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}PA_i^2}
\end{array}\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh