Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 8$
$\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 8$
Bắt đầu bởi duynam2010, 04-02-2013 - 12:46
#2
Đã gửi 04-02-2013 - 13:18
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Chắc vậy nhỉ 
Ta có $(2a+b+c)^2=[\dfrac{2}{\sqrt{2}}.(\sqrt{2}a)+(b+c)]^2 \overset{C-S}{\le} ...$
Ta có $(2a+b+c)^2=[\dfrac{2}{\sqrt{2}}.(\sqrt{2}a)+(b+c)]^2 \overset{C-S}{\le} ...$
- duynam2010 yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#3
Đã gửi 08-04-2021 - 17:06
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Chuẩn hóa a + b + c = 3 thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}\leqslant 8$
Ta có: $\frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}-\frac{4a+4}{3}=\frac{-3(a-1)^2(4a+3)}{3(3a^2-6a+9)}\leqslant 0\Rightarrow \frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}\leqslant \frac{4a+4}{3}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum_{cyc}\frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}\leqslant \frac{4(a+b+c)+12}{3}=8$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-04-2021 - 17:08
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
