$\boxed{Problem 2}$Cho lục giác $ABCDEF$ có $AB=BC,CD=DE,EF=FA$. Chứng minh rằng: $\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\geqslant \frac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Ptoleme cho tứ giác $ABCE$, ta được: $AB.CE+BC.AE\geqslant AC.BE$ hay $BC.CE+BC.AE\geqslant AC.BE$ (Do $AB = BC$) $\Rightarrow \frac{BC}{BE}\geqslant \frac{AC}{CE+AE}$
Tương tự, ta có: $\frac{DE}{DA}\geqslant \frac{CE}{AC+AE};\frac{FA}{FC}\geqslant \frac{AE}{AC+EC}$
Mà $\frac{AC}{CE+AE}+\frac{CE}{AC+AE}+\frac{AE}{AC+EC}\geqslant \frac{3}{2}(Nesbitt)$ nên $\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\geqslant \frac{3}{2}(Q.E.D)$