Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 toihoctoan

toihoctoan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 02-09-2019 - 21:13

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Để giải bài này ta chứng minh: $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}$ (Tương đương $(a+b)(a-b)^2\geq 0$)

Cho mình hỏi làm thế nào để  tìm ra $\frac{2a-b}{3}$?



#2 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-09-2019 - 21:46

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Để giải bài này ta chứng minh: $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}$ (Tương đương $(a+b)(a-b)^2\geq 0$)

Cho mình hỏi làm thế nào để  tìm ra $\frac{2a-b}{3}$?

Có thể được giải thích như sau:
 

Hình gửi kèm

  • 2.PNG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#3 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-09-2019 - 21:59

Hoặc bài của bạn cũng có thể đượợc xử lý như sau:

(i) $a^2+ab+b^2\ge\dfrac{3}{4} (a+b)^2$ và $4ab\le (a+b)^2$

(ii) $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}-\dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{4ab(a+b)}{3(a+b)^2}$

$=a-\dfrac{(a+b)^2}{3(a+b)}=\dfrac{2a}{3}-\dfrac{1}{3}b$


Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#4 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-09-2019 - 11:31

1 cách khác để xử lí bài của bạn.

$ VT = \frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2} +\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}  + \frac{c^4}{c^3+c^2a+ca^2}  \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+c^2a+ca^2} = \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} = \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \geq \frac{a+b+c}{3} $ 


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#5 phan duy quang lh

phan duy quang lh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà tĩnh
  • Sở thích:toán học
    anime
    "truyện tranh" =.=

Đã gửi 03-09-2019 - 20:44

góp vài bài cho vui nè 

 cho $1< a,b,c,d< 2$

CMR câu 1 $\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}d{} \right )\leq \frac{25}{2}$

 câu 2 $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+6 \right )\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}} \right ) \leq \frac{169}{4}$


trứng gà , đập vỡ từ bên ngoài là thức ăn 

đập vỡ từ bên trong là sinh mạng 

đời người cũng vậy 

đập vỡ từ bên ngoài là áp lực 

đập vỡ từ bên trong là trưởng thành  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  :icon10:  ~O)  :ph34r: 

                                cre: stolen 


#6 PDF

PDF

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 292 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 03-09-2019 - 21:35

Cách giải khác cho bạn: Để ý rằng $\sum_{cyc}\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum_{cyc}\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$ nên $VT=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq\frac{1}{6}\sum_{cyc}\frac{(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a+b+c}{3}$ (đpcm)

Có dc điều này do 1 BĐT cơ bản là $a^{2}-ab+b^{2}\geq\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$ (có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh