Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh $a(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c})+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}<2$
$a(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c})+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}<2$
Bắt đầu bởi issacband365, 12-04-2015 - 20:19
#2
Đã gửi 09-04-2021 - 19:23
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta dễ có đánh giá rằng: Nếu $x,y,z >0$ và $x<y$ thì $\frac{x}{y}<\frac{x+z}{y+z}$
Áp dụng bổ đề trên: $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác nên $2a+b>c$ hay $3a+b>a+c\Rightarrow \frac{a+c}{3a+b}<\frac{2a+2c}{4a+b+c}$
Tương tự:$\frac{a+b}{3a+c}<\frac{2a+2b}{4a+b+c}$
Từ đó suy ra: $a(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c})+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}=\frac{a+c}{3a+b}+\frac{a+b}{3a+c}+\frac{4a}{4a+2b+2c}<\frac{2a+2c}{4a+b+c}+\frac{2a+2b}{4a+b+c}+\frac{4a}{4a+b+c}=2(Q.E.D)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
