$\boxed{Problem 8}$Cho hai điểm $M$ và $N$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ sao cho $BM=MN=NC$. Một đường thẳng song song với $AC$ cắt các đoạn thẳng $AB,AM,AN$ lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh rằng $EF=3DE$
Đề thi chọn đội tuyển quốc gia Singapore 1998-1999
Gọi $G$ là giao điểm của $DF$ và $BC$. Qua $E$ và $F$ vẽ các đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ lần lượt tại $J$ và $K$
$\Delta ANC$ có $GF//AC$ nên $\frac{AF}{AN}=\frac{GC}{CN}$ ($Talet$) (1)
$\Delta ABN$ có $KF//BN$ nên $\frac{AF}{AN}=\frac{KF}{BN}$ ($Talet$) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{GC}{CN}=\frac{KF}{BN}$ mà $BN=2CN$ nên $KF=2GC$ (3)
Tương tự, ta có: $GC=2JE$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $KF=4JE\Rightarrow \frac{JE}{KF}=\frac{1}{4}$
$\Delta DKF$ có $JE//KF$ nên $\frac{JE}{KF}=\frac{DE}{DF}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{DE}{EF}=\frac{1}{3}\Rightarrow EF=3DE(Q.E.D)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$