Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề khảo sát Chuyên Toán Lê Hồng Phong ( CT 1 - 19_22)

lhp hồ chí minh khảo sát toán chuyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 06-09-2019 - 17:55

ĐỀ KHẢO SÁT ĐẦU NĂM CHUYÊN TOÁN 1 (19-22)

THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG (TPHCM)

Thời gian: 270 phút

Câu 1 (5,0 điểm) Cho $ a,b,c> 0 $ thỏa $ abc = 1$. Chứng minh rằng 

$ \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2} \geq \frac{3}{4} $

Câu 2 (5,0 điểm) Cho dãy số $ a_{n} $ xác định bởi $ a_{0} = 0 $ và $ a_{1} = 1 $ và 

$ \frac{ a_{n+1} - 3a_{n} + a_{n-1} }{2} = (-1)^n; \forall n \geq 1 $

Chứng minh $ a_{n} $ là số chính phương với mọi $ n \geq 1 $

Câu 3 (5,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương $ a,b,m,n $ với $ (m,n) = 1$  thỏa mãn 

$ (a^2+b^2)^m = (ab)^n $

Câu 4 (5,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương $ n,x $ sao cho $ (4x)^n + (x+1)^2 $ là số chính phương.

Câu 5 (5,0 điểm) Giả sử rằng $ A $ là tập hợp con của tập hợp các số $ {1,2,3,...,255} $ sao cho $ A$ không chứa 2 số nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi $ A$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

Câu 6 (5,0 điểm) Cho 1 bảng ô vuông gồm 9 cột và $n$ hàng. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho ta có thể điền được vào các ô của bảng, mỗi ô bởi một số trong tập ${1,2,3,...,9}$ sao cho 

i) mỗi hàng chứa đủ cả 9 số 1,...,9

ii) không có 2 hàng nào giống nhau

iii) với 2 hàng bất kì, luôn tìm được ít nhất 1 cột sao cho giao của nó với 2 hàng đó chứa 2 số giống nhau

Câu 7 (5,0 điểm) Cho đường thẳng $d$ cố định và điểm $A$ cố định không thuộc $d$. Các điểm $B,C$ di động trên $d$ sao cho $ \Delta ABC $ nhọn $ AB<AC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và $AI$ cắt $BC$ tại $D$, cắt $(ABC$ tại $J$ khác $A$. 

a) Chứng minh $ IJ^2=JD.JA$

b) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $I$ qua $BC$. Tia $AI$ cắt $(BIC$ tại $G$ khác $I$. Chứng minh rằng $GK$ luôn đi qua điểm cố định.

c) Gọi $E$ là tâm đường tròn qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $M,N$ là hình chiếu của $D$ lên $BE,CE$. Chứng minh $B,I,C,M,N$ đồng viên.

Câu 8 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$, $AB<AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK = IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $B$ và cắt $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt $AC$ tại $F$.

a) Chứng minh $2EF=BC$.

b) Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt $BC$ tại $N$. $(BKN)$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$. Chứng minh $ PK $ luôn đi qua trung điểm $AD$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 06-09-2019 - 18:12

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#2 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 06-09-2019 - 18:02

Em làm câu dễ nhất  :icon6:

Ta có $ \frac{1}{(1+a)^2} + \frac{1}{(1+b)^2} \geq \frac{1}{ab+1} $

Chứng minh bằng biến đổi tương đương.

Vậy $ VT \geq \frac{1}{ab+1}  +\frac{1}{(1+c)^2}= \frac{1}{ \frac{1}{c} + 1} + \frac{1}{(1+c)^2} = \frac{c(c+1)}{(c+1)^2} + \frac{1}{(1+c)^2} = \frac{c^2+c+1}{(c+1)^2} \geq \frac{3}{4} $

Dấu "=" khi $ a=b=c = 1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 06-09-2019 - 19:20

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#3 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 06-09-2019 - 20:05

Câu 8 giống với VMO 2014 :v 


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#4 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 06-09-2019 - 21:14

Mọi người đóng góp tích cực lên ạ :( 


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#5 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 07-09-2019 - 00:22

Câu $7:$

a) Ta có: $\widehat{BIJ}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}=\widehat{JAC}+\widehat{IBC}=\widehat{JBC}+\widehat{IBC}=\widehat{IBJ}$, nên $IJ=JB$, chứng minh tương tự $JI=JC$

 Vì $IJ=JB$ mà $BJ^{2}=JD.JA$ ( do $\Delta BJD\sim \Delta AJB$), nên $IJ^2=JD.JA$ (ĐPCM)

b) Gọi $AH$ là đường cao,$E_{1}$ là đường cao hạ từ $I->BC$, tự chứng minh $GK//E_{1}J$

Kéo dài $E_{1}J$ cắt $AH$ tại $L$

Ta có: $\frac{E_{1}I}{JL}=\frac{JI}{JA}=\frac{JD}{JI}(cmt)$

Do đó $\frac{E_{1}I}{JL}=\frac{JD}{JI}$

$=>HD//LI$

$=> HE_{1}IL$ là hình chữ nhật

$=>\widehat{E_{1}HK}=\widehat{E_{1}HI}=\widehat{LE_{1}H}=\widehat{JE_{1}C}$

$=>HK//E_{1}J$

$=>H,K,G$ thằng hàng

Nên $KG$ đi qua $1$ điểm tại BC là hình chiếu của A trên BC.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Eugeo Synthesis 32: 07-09-2019 - 13:51


#6 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 07-09-2019 - 00:37

Câu 3 thầy Cẩn giải rồi mọi người ơi, thôi thì mình ghi luôn lời giải thầy Cẩn và trình bày đẹp nè :))

Do $a^2+b^2\geq 2ab> ab$ nên $n> m$

Đặt $d=(a,b)$ thì tồn tại $x,y$ nguyên dương, $(x,y)=1$ sao cho $a=dx;b=dy$. Thay vào, phương trình trở thành:

$(x^2+y^2)^m=d^{2n-2m}(xy)^n$

Do đó $(x^2+y^2)^m \vdots (xy)^n$

Mà $(x,y)=1->(x^2+y^2,xy)=1$

nên $xy=1=>x=y=1$.

Thay vào tiếp, ta được:

$2^{m}=d^{2n-2m}$

Từ đó $d=2^k$ ($k$ nguyên dương) và $m=k(2n-2m)$, hay

$(2k+1)m=2kn$

Do $(2k,2k+1)=1$ nên tồn tại $u$ nguyên dương sao cho $m=2ku;n=(2k+1)u$.

Nên nghiệm của phương trình đã cho là $(a,b,m,n)=(2^k,2^k,2ku,(2k+1)u)$

Mà $(m,n)=1(gt)$

Vậy kết luận chính thức của câu 3 là $(a,b,m,n)=(2^k,2^k,2k,2k+1)$.



#7 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 07-09-2019 - 10:46

Câu 7c mình xin giải, quan trọng là chứng minh theo kiểu điểm trùng nhau, thực ra câu này cũng biến đổi góc phức tạp 1 chút rồi sau đó chứng minh còn lại rất dễ dàng bằng cách dùng bổ đề phản ngược bài toán 

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Cho $\Delta PQR$ có $S$ là giao 3 đường phân giác,$AS$ cắt $QR$ tại $T$,$(PQT)$ cắt $QSR$ tại $U$ khác $Q$. Khi đó $\widehat{TUR}=90^{o}$.

Chứng minh:

Ta có: 

$\widehat{TUR}=\widehat{QUR}-\widehat{QUT}=\widehat{QSR}-\widehat{QPT}=180^{o}-\widehat{\frac{PQR}{2}}-\widehat{\frac{PRQ}{2}}-\widehat{\frac{QPR}{2}}=180^{o}-90^{o}=90^{o}$ => ĐPCM.

Quay lại bài toán.

Gọi $Z$ là tâm đường tròn đường kính $DC$,

$(ABD)\cap (BIC)=N'$, ta cũng có $\widehat{DN'C}=90^{o}$ theo bổ đề trên.

Để chứng minh $N'\equiv N$ thì cần chứng minh $ANDB$ nội tiếp $($vì chứng minh xong thì $N,N'$ đều thuộc giao điểm của  $(ABD)$ và đường tròn tâm $Z$ đường kính $DC$ khác $D$, do đó $N'\equiv N$$)$.

Ta có:$\widehat{EAD}=\widehat{EDA}=\widehat{ADC}-90^{o}=\widehat{\frac{BAC}{2}}+\widehat{ABC}-90^{o}=\widehat{\frac{BAC}{2}}+\widehat{ABC}-\widehat{\frac{BAC}{2}}-\widehat{\frac{ABC}{2}}-\widehat{\frac{BCA}{2}}=\widehat{\frac{ABC}{2}}-\widehat{\frac{ACB}{2}}$

Ta có: $EA^{2}=ED^{2}=EN.EC$

$=>\widehat{ANE}=\widehat{EAC}=\widehat{DAC}-\widehat{DAE}=\widehat{\frac{BAC}{2}}-(\widehat{\frac{ABC}{2}}-\widehat{\frac{BCA}{2}})$

Do đó $\widehat{END}=90^{o}+\widehat{ANE}=90^{o}+\widehat{\frac{BAC}{2}}-(\widehat{\frac{ABC}{2}}-\widehat{\frac{BCA}{2}})=(\widehat{\frac{BAC}{2}}+\widehat{\frac{BCA}{2}}+\widehat{\frac{ABC}{2}})+\widehat{\frac{BAC}{2}}-(\widehat{\frac{ABC}{2}}-\widehat{\frac{BCA}{2}})=\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=180^{o}-\widehat{ABC}$

Nên $ABDN$ nội tiếp.

Suy ra $N'\equiv N$, tức là $N\in (BIC)$

Ta dễ dàng chứng minh được $MNCB$ nội tiếp ( do $EN.EC=ED^{2}=EM.EB$.

Mà $N$ thuộc $(BIC)$, nên $M$ cũng thuộc $(BIC)$

=> $B,I,C,M,N$ cùng thuộc $1$ đường tròn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Eugeo Synthesis 32: 07-09-2019 - 10:55


#8 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 07-09-2019 - 22:35

CẬP NHẬT LỜI GIẢI THẦY VÕ QUỐC BÁ CẨN

Câu $3:$

69742888_10219427275849493_250966370590269594933_10219427275969496_1778086150959

Nguồn: https://www.facebook...?epa=SEARCH_BOX

Thầy Cẩn giải theo kiểu dãy số, nên chắc bạn nào chuyên toán cấp 2 đừng buồn vì không giải ra được nhé :))



#9 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 07-09-2019 - 22:54

CẬP NHẬT LỜI GIẢI THẦY VÕ QUỐC BÁ CẨN

Câu $3:$

69742888_10219427275849493_250966370590269594933_10219427275969496_1778086150959

Nguồn: https://www.facebook...?epa=SEARCH_BOX

Thầy Cẩn giải theo kiểu dãy số, nên chắc bạn nào chuyên toán cấp 2 đừng buồn vì không giải ra được nhé :))

Thế là anh không được buồn e nhỉ :) 


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#10 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 07-09-2019 - 23:19

Chắc dùng dãy số trong bài này là điều mà không ai cũng nghĩ ra được, hiếm lắm, chắc là vậy đối với chuyên toán cấp 3 mới học dãy số mà chưa chuyên sâu nên anh cũng đừng buồn hic :v :v Nhìn lời giải chắc em cũng chưa đạt đến trình độ này đâu :((


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Eugeo Synthesis 32: 07-09-2019 - 23:35





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh