tìm các số nguyên dương x và y sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$
tìm các số nguyên dương x và y sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$
#1
Đã gửi 21-04-2021 - 13:58
#2
Đã gửi 21-04-2021 - 14:32
Giả sử $x^2-2\vdots xy+2\Rightarrow y(x^2-2)\vdots xy+2\Rightarrow x(xy+2)-2(x+y)\vdots xy+2$
Mà $x(xy+2)\vdots xy+2$ nên $2(x+y)\vdots xy+2$
$\Rightarrow xy+2\leqslant 2(x+y)\Leftrightarrow (x-2)(y-2)\leqslant 2$
Ta có: $xy+2\geqslant 3$ với mọi $x,y$ nguyên dương nên $x^2-2\geqslant 3\Rightarrow x> 2$
* Nếu $y = 1$ thì $x^2-2\vdots x+2\Rightarrow (x+2)(x-2)+2\vdots x+2\Rightarrow 2\vdots x+2$(loại do $x >2$)
* Nếu $y = 2$ thì $2(x^2-2)\vdots 2(x+1)\Rightarrow 2(x+1)(x-1)-2\vdots 2(x+1)\Rightarrow 2\vdots 2(x+1)$(loại do $x >2$)
* Nếu $y = 3$ thì $2(x+3)\vdots 3x+2\Rightarrow 3x+2\leqslant 2(x+3)\Rightarrow x\leqslant 4$ nên $x=3$ hoặc $x=4$. Thử lại ta thấy $x=4$ thỏa mãn
* Nếu $y = 4$ thì $2(x-2)\leqslant 2\Rightarrow x\leqslant 3\Rightarrow x=3$. Thử lại thấy không thỏa mãn
* Nếu $y\geqslant 5$ thì $(x-2)(y-2)\geqslant 1.3=3$(loại)
Vậy chỉ có 1 cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn là $(4,3)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 21-04-2021 - 14:35
- nguyentrongvanviet yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Đã gửi 23-03-2024 - 21:38
tìm các số nguyên dương x và y sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$
theo đề, $(x^2-2)\ \vdots (xy+2)$ nên ta đặt: $k=\frac{x^2-2}{xy+2} \Rightarrow x^2-2-kxy-2k=0$
ta có:
$\Delta _{x} = ky^2 +4(2+2k) = ky^2+8k+8 \\$
$\Delta _{y}= -4(8k+8)k$
để phương trình có nghiệm x, y nguyên thì $\Delta _{y}= -4(8k+8)k = 0 \Rightarrow k=0 $ hoặc $ k=1$
+) xét $k=1 \Rightarrow x(x-y)=4$. Vì $x, 4 > 0 \Rightarrow x - y > 0 \Rightarrow x>y$. Xét các trường hợp suy ra pt có 1 cặp n0 $(4;3)$
+) xét $k=0$, ...tương tự...
vậy kết luận pt có 1 cặp n0 duy nhất $(4;3)$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, chia hết, nghiệm nguyên
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh tích $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 chia hết |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 06-02-2024 chia hết |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh