Đến nội dung

Hình ảnh

tìm các số nguyên dương x và y sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$

số học chia hết nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyentrongvanviet

nguyentrongvanviet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

tìm các số nguyên dương x và y sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử $x^2-2\vdots xy+2\Rightarrow y(x^2-2)\vdots xy+2\Rightarrow x(xy+2)-2(x+y)\vdots xy+2$

Mà $x(xy+2)\vdots xy+2$ nên $2(x+y)\vdots xy+2$

$\Rightarrow xy+2\leqslant 2(x+y)\Leftrightarrow (x-2)(y-2)\leqslant 2$

Ta có: $xy+2\geqslant 3$ với mọi $x,y$ nguyên dương nên $x^2-2\geqslant 3\Rightarrow x> 2$

* Nếu $y = 1$ thì $x^2-2\vdots x+2\Rightarrow (x+2)(x-2)+2\vdots x+2\Rightarrow 2\vdots x+2$(loại do $x >2$)

* Nếu $y = 2$ thì $2(x^2-2)\vdots 2(x+1)\Rightarrow 2(x+1)(x-1)-2\vdots 2(x+1)\Rightarrow 2\vdots 2(x+1)$(loại do $x >2$)

* Nếu $y = 3$ thì $2(x+3)\vdots 3x+2\Rightarrow 3x+2\leqslant 2(x+3)\Rightarrow x\leqslant 4$ nên $x=3$ hoặc $x=4$. Thử lại ta thấy $x=4$ thỏa mãn

* Nếu $y = 4$ thì $2(x-2)\leqslant 2\Rightarrow x\leqslant 3\Rightarrow x=3$. Thử lại thấy không thỏa mãn

* Nếu $y\geqslant 5$ thì $(x-2)(y-2)\geqslant 1.3=3$(loại)

Vậy chỉ có 1 cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn là $(4,3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 21-04-2021 - 14:35

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
Giabao209

Giabao209

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết

tìm các số nguyên dương x và y sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$

theo đề, $(x^2-2)\ \vdots (xy+2)$ nên ta đặt: $k=\frac{x^2-2}{xy+2} \Rightarrow x^2-2-kxy-2k=0$

ta có: 

$\Delta _{x} = ky^2 +4(2+2k) = ky^2+8k+8 \\$

$\Delta _{y}= -4(8k+8)k$

để phương trình có nghiệm x, y nguyên thì $\Delta _{y}= -4(8k+8)k = 0 \Rightarrow k=0 $ hoặc $ k=1$

+) xét $k=1 \Rightarrow x(x-y)=4$. Vì $x, 4 > 0 \Rightarrow x - y > 0 \Rightarrow x>y$. Xét các trường hợp suy ra pt có 1 cặp n0 $(4;3)$
+) xét $k=0$, ...tương tự...
vậy kết luận pt có 1 cặp n0 duy nhất $(4;3)$ 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, chia hết, nghiệm nguyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh