My solution:
Từ $B$ và $C$ lần lượt hạ các đường vuông góc xuống $AD$ cắt $AD$ tại $B'$ và $C'$
Dễ có các tam giác $ABB'$ và $ACC'$ vuông cân nên $BB'=\frac{1}{\sqrt{2}}AB,CC'=\frac{1}{\sqrt{2}}AC$
Ta có: $S_{ABD}+S_{ACD}=S_{ABC}\Rightarrow \frac{1}{2}BB'.AD+\frac{1}{2}CC'.AD=\frac{1}{2}AB.AC\Rightarrow AD=\frac{AB.AC}{BB'+CC'}=\frac{\sqrt{2}AB.AC}{AB+AC}\leqslant \frac{\sqrt{2}.\frac{(AB+AC)^2}{4}}{AB+AC}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(AB+AC)=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sqrt{2}BB'+\sqrt{2}CC')=\frac{BB'+CC'}{2}=\frac{MN}{2}(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-04-2021 - 12:11
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$