Ta có ký hiệu $S_{m}(n)$ là tổng các chữ số của n trong khai triển ra hệ cơ số m. ( n nguyên dương)
1. Cho dãy số ${u_{n}}$ như sau: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1& & \\ u_{n}=S_{p}(n-k)+S_{p}(k)& & \end{matrix}\right.$ . Hãy khảo sát sự hội tụ của dãy đó biết $p$ là số nguyên tố cho trước và k là số nguyên dương cho trước
2. Cho $k$ là một số nguyên dương lớn hơn 10 cho trước. Hỏi với $x$ nguyên dương nhỏ hơn $k$ ( $x$ được xem như biến số) thì $S_{p}(k-x)+S_{p}(x)$ có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất theo $k$ hay không. Nếu có hãy tìm chúng.
P/S: Nếu được mong mọi người giải quyết luôn giúp em trường hợp $p$ là hợp số ạ, em xin cảm ơn.