Chủ đề này có 6 trả lời

[happyfree]

1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$

2. Tìm GTNN của $N=x^4-8xy-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4+100$

3. Cho 2 số $a,b$ thỏa mãn : $a+b\neq 0$ .

CMR: $a^2+b^2+(\frac{ab+1}{a+b})^2\geq 2$

[Hoang Nhat Tuan]

1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$

2. Tìm GTNN của $N=x^4-8xy-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4+100$

3. Cho 2 số $a,b$ thỏa mãn : $a+b\neq 0$ .

CMR: $a^2+b^2+(\frac{ab+1}{a+b})^2\geq 2$

Câu 3: Cần chứng minh $(a+b)^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2+2ab$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si là ra

[Ngoc Hung]

3. Cho 2 số $a,b$ thỏa mãn : $a+b\neq 0$ .

CMR: $a^2+b^2+(\frac{ab+1}{a+b})^2\geq 2$

 

BĐT $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-2+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}\geq 0\Leftrightarrow (a+b)^{2}-2(ab+1)+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}\geq 0\Leftrightarrow \left ( (a+b)-\frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}\geq 0$

[tonarinototoro]

1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$

 

có ở đây http://diendantoanho...-c2-right-4abc/

[Ngoc Hung]

2. Tìm GTNN của $N=x^4-8xy-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4+100$

 

$4N=4x^{4}-32xy-4x^{3}y+4x^{2}y^{2}-4xy^{3}+4y^{4}+400=(2x^{2}-xy)^{2}+(2y^{2}-xy)^{2}+2(xy-8)^{2}+272\Rightarrow N\geq 68$

[nguyenhongsonk612]

1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$

 

Giải

Theo BĐT trong tam giác ta có $b+c>a$

Từ GT $\Rightarrow a< \frac{3}{2}$

$A=3\begin{bmatrix} a^2+(b+c)^2-2bc \end{bmatrix}+4abc=(4a-6)bc+6a^2-18a+27$

Chứng minh $A\geq 13$

$\Leftrightarrow (4a-6)bc+6a^2-18a+14\geq 0$

Vì $a< \frac{3}{2}$ nên $f(bc)$ nghịch biến

Hơn nữa ta có $bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}=\frac{(3-a)^2}{4}$

$\Rightarrow f(bc)\geq f\begin{pmatrix} \frac{(3-a)^2}{4} \end{pmatrix}$

Vậy chỉ cần C/m $f\begin{pmatrix} \frac{(3-a)^2}{4} \end{pmatrix}\geq 0$ 

$\Leftrightarrow (a-1)^2(2a+1\geq 0)$ (đúng)

Vậy $A\geq 13$

$A$ min $=13$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 12-04-2015 - 12:14

[KietLW9]

1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$

 

Giả sử a là cạnh lớn nhất trong tam giác thì b + c > a (theo bất đẳng thức tam giác) $\Rightarrow 2a<a+b+c=3\Rightarrow a<\frac{3}{2}$

 

Từ đó ta có: $a,b,c<\frac{3}{2}$ suy ra $\frac{3}{2}-a,\frac{3}{2}-b,\frac{3}{2}-c>0$

Áp dụng Cô-si cho 3 số dương: $(\frac{3}{2}-a)+(\frac{3}{2}-b)+(\frac{3}{2}-c)\geqslant 3\sqrt[3]{(\frac{3}{2}-a)(\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)} $

$\Leftrightarrow \frac{1}{8}\geqslant(\frac{3}{2}-a)(\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{8}\geqslant \frac{-27}{8}+\frac{3}{2}(ab+bc+ca)-abc\Leftrightarrow 4abc\geqslant -14+6(ab+bc+ca) \Leftrightarrow 3(a+b+c)^2+4abc\geqslant 13+6(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 3a^2+3b^2+3c^2+4abc\geqslant 13$ (Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1