$\boxed{Problem 19}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.
$\boxed{Problem 19}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
$\boxed{Problem 19}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.
Gợi ý: $KS$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Sử dụng biến đổi góc chứng minh $\angle ASK=90^{\circ}$, suy ra được $S$ là trung điểm $PQ$.
Tiếp theo, chứng minh $$\frac{PB}{PE}=\frac{QD}{QC}$$
Từ bổ đề ERIQ suy ra trung điểm $BD,CE,PQ$ thẳng hàng.
Và đây là lời giải của mình:
Gọi $I$ là giao điểm của tia phân giác góc $BAC$ với $MN$, $T$ là giao điểm của tia phân giác góc $DKB$ với $MN$
Dễ có $\Delta ABD\sim\Delta ACE\Rightarrow \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2BM}{2CN}=\frac{BM}{CN}$
$\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có $\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CN}$ và $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ nên $\Delta ABM\sim\Delta ACN$
$\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$ và $IM$ là phân giác góc $MAN$
Như vậy, ta có: $\frac{IM}{IN}=\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}=\frac{BD}{CE}$
Tương tự: $\frac{TM}{TN}=\frac{BD}{CE}$ nên $I,T$ trùng nhau mà $S$ là giao điểm của giác tia phân giác góc $BAC$ và $DKB$ nên $S,I,T$ trùng nhau.
Vậy ba điểm $M,S,N$ thẳng hàng(đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 23-04-2021 - 17:44
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
$\boxed{Problem 19}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.
Bài này có thể mở rộng cho một tứ giác toàn phần bất kỳ.
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác AGC.Bắt đầu bởi Tantran2510, 26-04-2024 hình học, đồng dạng, nội tiếp |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.Bắt đầu bởi nonamebroy, 18-04-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.Bắt đầu bởi Phuockq, 07-04-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh