1 reply to this topic

[KietLW9]

$\boxed{Problem 36}$ Cho hình vuông $ABCD$. Điểm $M$ thay đổi trên cạnh $BC$($M$ không trùng $B$ và $C$), điểm $N$ thay đổi trên cạnh $CD$ sao cho $\widehat{MAN}=45^{\circ}$, $E$ là giao điểm của $AN$ và $BD$. Chứng minh đường thẳng $MN$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

 

Bài này là câu 3 trong đề thi HSG tỉnh Quảng Nam 2020-2021. Đây là một bài toán dễ sử dụng tứ giác nội tiếp nhưng mình vẫn có một cách chỉ sử dụng kiến thức lớp 8. Ai có thể?

Edited by KietLW9, 25-04-2021 - 10:55.

[Master Of Inequality]

Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $F$ sao cho $DF=BM$

Xét $\Delta ADF$ và $ABM$ có:

$AD=AB$

$\widehat{ADF}=\widehat{ABM}$

$DF=BM$

$\Rightarrow \Delta ADF=\Delta ABM(c.g.c)$

$\Rightarrow AM=AF$

$\widehat{FAD}=\widehat{BAM}$

$\Rightarrow \widehat{FAN}=\widehat{FAD}+\widehat{DAN}=\widehat{BAM}+\widehat{DAN}=\widehat{DAB}-\widehat{MAN}=90^o-45^o=45^o=\widehat{MAN}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ANF$ có:

$AN$ chung

$\widehat{MAN}=\widehat{NAF}$

$AM=AF$

$\Rightarrow \Delta AMN=\Delta AFN (c.g.c)$

Kẻ $AE$ vuông góc với $MN$

Ta có: $S_{AMN}=S{AFN}$

$\Rightarrow AE.MN=AD.NF$

$\Rightarrow AE=AD$ không đổi vì $MN=NF$

$\Rightarrow MN$ tiếp xúc với đường tròn $(A,AD)$ cố định.

Edited by Master Of Inequality, 25-04-2021 - 11:04.