Cho các số thực a,b,c không âm thỏa $(a+c-3)b+1=0$
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$\frac{1}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{ac+3b}$
Tìm GTNN của $\frac{1}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{ac+3b}$
Bắt đầu bởi Master Of Inequality, 25-04-2021 - 12:27
#2
Đã gửi 25-04-2021 - 13:01
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho các số thực a,b,c không âm thỏa $(a+c-3)b+1=0$
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$\frac{1}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{ac+3b}$
Từ giả thiết suy ra $a+\frac{1}{b}+c=3$
Đặt $(a,\frac{1}{b},c)\rightarrow (x,y,z)$ thì x + y + z = 3 và ta cần tìm GTNN của: $P=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{xyz+3}$
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta được: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{xyz+3}\geqslant \frac{9}{x+xy+xyz+5}$
Ta có: $x+xy+xyz=x+xy(z+1)\leqslant x +x.\frac{(y+z+1)^2}{4}=x+\frac{x(4-x)^2}{4}$
Xét: $x+\frac{x(4-x)^2}{4}-4=\frac{(x-4)(x-2)^2}{4}\leqslant 0\Rightarrow x+\frac{x(4-x)^2}{4}\leqslant 4$
Do đó $P\geqslant \frac{9}{x+xy+xyz+5}\geqslant \frac{9}{4+5}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a = 2; b = 1; c = 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
