Chủ đề này có 5 trả lời

[Master Of Inequality]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=3$

Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{3}}$

[KietLW9]

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta được: $(\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}})^3[a^2b(b+2c)+b^2c(c+2a)+c^2a(c+2b)]\geqslant (\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})^4\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}}\geqslant \sqrt[3]{\frac{(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})^4}{9}}$

Ta cần chứng minh: $(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})^4\geqslant 81$

Sử dụng bổ đề: $(x^3+y^3+z^3)^8\geqslant 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^3$ ta được: $(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})^8\geqslant 3^5(ab+bc+ca)^3=3^8\Rightarrow (\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})^4\geqslant 81$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 26-04-2021 - 22:15

[KietLW9]

Chi tiết chứng minh bất đẳng thức: $(x^3+y^3+z^3)^8\geqslant 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^3$

Chuẩn hóa $x^3+y^3+z^3=3$ thì ta cần chứng minh: $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\leqslant 3$

Thật vậy, ta có: $xy\leqslant \frac{x^3+y^3+1}{3}=\frac{4-z^3}{3}\Rightarrow x^4y^4\leqslant \frac{4x^3y^3-x^3y^3z^3}{3}$

Tương tự rồi cộng lại thì ta quy về chứng minh: $4(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)-3x^3y^3z^3\leqslant 9\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^3+9x^3y^3z^3\geqslant 4(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)(x^3+y^3+z^3)$

Đặt $(x^3,y^3,z^3)\rightarrow (m,n,p)$ thì bất đẳng thức cuối là Schur bậc 3 nên ta có điều phải chứng minh

[Master Of Inequality]

Cơ sở nào để chuẩn hóa $x^3+y^3+z^3=3$ ạ

[KietLW9]

Cơ sở nào để chuẩn hóa $x^3+y^3+z^3=3$ ạ

Bất đẳng thức trên thuần nhất

[Master Of Inequality]

Chi tiết chứng minh bất đẳng thức: $(x^3+y^3+z^3)^8\geqslant 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^3$

Chuẩn hóa $x^3+y^3+z^3=3$ thì ta cần chứng minh: $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\leqslant 3$

Thật vậy, ta có: $xy\leqslant \frac{x^3+y^3+1}{3}=\frac{4-z^3}{3}\Rightarrow x^4y^4\leqslant \frac{4x^3y^3-x^3y^3z^3}{3}$

Tương tự rồi cộng lại thì ta quy về chứng minh: $4(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)-3x^3y^3z^3\leqslant 9\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^3+9x^3y^3z^3\geqslant 4(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)(x^3+y^3+z^3)$

Đặt $(x^3,y^3,z^3)\rightarrow (m,n,p)$ thì bất đẳng thức cuối là Schur bậc 3 nên ta có điều phải chứng minh

Cảm ơn anh!