cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z\geq 12$
tìm giá trị nhỏ nhất của
$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}$
$x,y,z> 0$ và $x+y+z\geq 12$;$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}$
Bắt đầu bởi bimcaucau, 28-04-2021 - 05:58
#2
Đã gửi 28-04-2021 - 17:46
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z\geq 12$
tìm giá trị nhỏ nhất của
$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Bunyakovsky dạng phân thức:
$$VT = \dfrac{x^2}{x\sqrt{y}}+\dfrac{y^2}{y\sqrt{z}}+\dfrac{z^2}{z\sqrt{x}} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}$$
$$=\dfrac{(x+y+z)^2}{\sqrt{x}\sqrt{xy}+\sqrt{y}\sqrt{yz}+\sqrt{z}\sqrt{zx}}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}}$$
$$\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)\dfrac{(x+y+z)^2}{3}}}=\sqrt{3(x+y+z)} \ge \sqrt{36}=6$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=4$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
