Cho các số thực không âm thỏa $a+b+c=1$
Tìm Min của $\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}+\frac{1}{1+6c^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Of Inequality: 28-04-2021 - 22:32
Tìm min của $\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}+\frac{1}{1+6c^2}$
Bắt đầu bởi Master Of Inequality, 28-04-2021 - 22:31
#2
Đã gửi 29-04-2021 - 06:44
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Không giảm tính tổng quát, giả sử $a\geqslant b\geqslant c$
Xét 2 trường hợp:
* Trường hợp 1: $c\geqslant \frac{1}{12}$ thì $a,b\geqslant \frac{1}{12}$
Ta có: $\frac{1}{1+6c^2}-\frac{-36c+27}{25}=\frac{2(3c-1)^2(12c-1)}{25(1+6c^2)}\geqslant 0$ (đúng)
Tương tự với $a,b$ rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}+\frac{1}{1+6c^2}\geqslant \frac{-36(a+b+c)+81}{25}=\frac{9}{5}$
* Trường hợp 2: $0\leqslant c<\frac{1}{12}$
Ta có: $\frac{1}{6b^2+1}-\frac{-24b+22}{25}=\frac{3(2b-1)^2(12b+1)}{25(6b^2+1)}\geqslant 0$ (đúng)
Tương tự với $a$ rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{6a^2+1}+\frac{1}{6b^2+1}\geqslant \frac{-24(a+b)+44}{25}\Leftrightarrow\frac{1}{6a^2+1}+\frac{1}{6b^2+1}+\frac{1}{6c^2+1}\geqslant \frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}$
Xét hiệu: $\frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}-\frac{9}{5}=\frac{30c(24c^2-25c+4)}{125(6c^2+1)}\geqslant 0$ (đúng do $0\leqslant c<\frac{1}{12}$)
Vậy $\frac{1}{6a^2+1}+\frac{1}{6b^2+1}+\frac{1}{6c^2+1}\geqslant \frac{9}{5}$
Tổng hợp lại ta có Min của biểu thức là $\frac{9}{5}$, đạt được khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $a=b=\frac{1}{2};c=0$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-04-2021 - 07:03
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
