Cho $2$ số nguyên $x,y$ thỏa mãn $xy+1$ chia hết cho $24$. Chứng minh rằng $x+y$ cũng chia hết cho $24$.
$x+y$ chia hết cho 24
#1
Đã gửi 30-04-2021 - 07:55
#2
Đã gửi 30-04-2021 - 08:21
Cho $2$ số nguyên $x,y$ thỏa mãn $xy+1$ chia hết cho $24$. Chứng minh rằng $x+y$ cũng chia hết cho $24$.
Theo đề ta có $xy+1\vdots 24$ nên $xy$ chia 4 dư 3 do đó trong 2 số $x,y$ có một số chia $4$ dư $1$, một số chia $4$ dư $3$. Giả sử $x$ chia $4$ dư $1$ thì $x+1\vdots 2$, $y$ chia $4$ dư $3$ thì $y+1\vdots 4$ $\Rightarrow (x+1)(y+1)\vdots 8$
Mặt khác $xy+1$ cũng chia hết cho $3$ nên $xy$ chia 3 dư 2 do đó trong 2 số $x,y$ tồn tại một số chia 3 dư 2 do đó $(x+1)(y+1)\vdots 3$
Như vậy ta có $(x+1)(y+1)\vdots 24$(Do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau)
hay $xy+1+x+y\vdots 24\Rightarrow x+y\vdots 24(Q.E.D)$
- mapdjtbeoidethuong và Khoinguyen2007 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh