Chủ đề này có 3 trả lời

[bimcaucau]

cho ab+bc+ca=3ab+bc+ca=3. Tìm giá trị lớn nhất của:

$A= \frac{a}{a^4+8a+7}+\frac{b}{b^4+8b+7}+\frac{c}{c^4+8c+7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bimcaucau: 30-04-2021 - 16:52

[KietLW9]

Ta có: $(a^4+8a+7)-(2a^2+8a+6)=(a-1)^2(a+1)^2\geqslant 0\Rightarrow a^4+8a+7\geqslant 2a^2+8a+6$

Tương tự, ta được: $\frac{a}{a^4+8a+7}+\frac{b}{b^4+8b+7}+\frac{c}{c^4+8c+7}\leqslant \frac{a}{2(a^2+4a+3)}+\frac{b}{2(b^2+4b+3)}+\frac{c}{2(c^2+4c+3)}\leqslant \frac{1}{8}(\frac{a}{a^2+3}+\frac{1}{4})+\frac{1}{8}(\frac{b}{b^2+3}+\frac{1}{4})+\frac{1}{8}(\frac{c}{c^2+3}+\frac{1}{4})=\frac{1}{8}(\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3})+\frac{3}{32}$

Xét bất đẳng thức: $\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}\leqslant \frac{3}{4}(*)$

Thật vậy: $(*)\Leftrightarrow \frac{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8$

Bất đẳng thức cuối đúng do $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant \frac{8}{9}\sqrt{3(ab+bc+ca)}(ab+bc+ca)=8$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[bimcaucau]

Ta có: $(a^4+8a+7)-(2a^2+8a+6)=(a-1)^2(a+1)^2\geqslant 0\Rightarrow a^4+8a+7\geqslant 2a^2+8a+6$

Tương tự, ta được: $\frac{a}{a^4+8a+7}+\frac{b}{b^4+8b+7}+\frac{c}{c^4+8c+7}\leqslant \frac{a}{2(a^2+4a+3)}+\frac{b}{2(b^2+4b+3)}+\frac{c}{2(c^2+4c+3)}\leqslant \frac{1}{8}(\frac{a}{a^2+3}+\frac{1}{4})+\frac{1}{8}(\frac{b}{b^2+3}+\frac{1}{4})+\frac{1}{8}(\frac{c}{c^2+3}+\frac{1}{4})=\frac{1}{8}(\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3})+\frac{3}{32}$

Xét bất đẳng thức: $\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}\leqslant \frac{3}{4}(*)$

Thật vậy: $(*)\Leftrightarrow \frac{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8$

Bất đẳng thức cuối đúng do $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant \frac{8}{9}\sqrt{3(ab+bc+ca)}(ab+bc+ca)=8$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

$(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

chỗ này mình chứng minh tương đương hay sao bác?

[KietLW9]

$(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

chỗ này mình chứng minh tương đương hay sao bác?

Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Cần chứng minh: $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geqslant \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant abc$

Bất đẳng thức cuối đúng theo Cô - si vì $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc},ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 01-05-2021 - 06:14