Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2=2(b^2+c^2)$. Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P= \sum \frac{a}{b+c}$.
Ps: Câu trên đều trích trong đề kiểm tra cuối học kì II LỚP 8 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 30-04-2021 - 21:11
Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P= \sum \frac{a}{b+c}$.
Bắt đầu bởi DBS, 30-04-2021 - 21:10
#2
Đã gửi 30-04-2021 - 21:16
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2=2(b^2+c^2)$. Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P= \sum \frac{a}{b+c}$.
Ps: Câu trên đều trích trong đề kiểm tra cuối học kì II LỚP 8
Ta có: $a^2=2(b^2+c^2)\geqslant (b+c)^2\Rightarrow \frac{a}{b+c}\geqslant 1$
Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\geqslant \frac{(b+c)^2}{a(b+c)+2bc}\geqslant \frac{(b+c)^2}{\frac{a^2+(b+c)^2}{2}+2bc}=\frac{(b+c)^2}{\frac{2(b^2+c^2)+(b+c)^2+4bc}{2}}=\frac{2}{3}$
Vậy $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geqslant 1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=2b=2c$
- DBS yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Đã gửi 01-05-2021 - 23:09
ChiMiwhh
-
- Thành viên
-
- 126 Bài viết
Trung sĩ
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2=2(b^2+c^2)$. Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P= \sum \frac{a}{b+c}$.
Ps: Câu trên đều trích trong đề kiểm tra cuối học kì II LỚP 8
Cách khác đổi biến $x=\frac{b}{a}$ và $y=\frac{c}{a}$ rồi biến đổi tương đương
- DBS yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
